鏡像法和其應(yīng)用

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1、鏡像法在靜電場(chǎng)中，如果在所考慮的區(qū)域內(nèi)沒(méi)有自由電荷分布時(shí)，可用拉普拉斯方程求解場(chǎng)分布；如果在所考慮的區(qū)域內(nèi)有自由電荷分布時(shí)，可用泊松方程求解場(chǎng)分布。如果在所考慮的區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)或者幾個(gè)點(diǎn)電荷，區(qū)域邊界是導(dǎo)體或介質(zhì)界面時(shí)，一般情況下，直接求解這類(lèi)問(wèn)題比較困難，通常可采用一種特殊方法—鏡象法來(lái)求解這類(lèi)問(wèn)題?！　＄R像法是直接建立在唯一性定理基礎(chǔ)上的一種求解靜電場(chǎng)問(wèn)題的方法。適用于解決導(dǎo)體或介質(zhì)邊界前存在點(diǎn)源或線源的一些特殊問(wèn)題。鏡像法的特點(diǎn)是不直接求解電位函數(shù)所滿足的泊松或拉普拉斯方程，而是在所求區(qū)域外用簡(jiǎn)單的鏡像電荷代替邊界面上的感應(yīng)電荷或極化電荷。根據(jù)唯一性定理，如果引入鏡像電荷后，原求解區(qū)域所

2、滿足的泊松或拉普拉斯方程和邊界條件不變，該問(wèn)題的解就是原問(wèn)題的解。下面我們舉例說(shuō)明。1導(dǎo)體平面的鏡像例.1　在無(wú)限大的接地導(dǎo)電平面上方處有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖3.2.1所示，求導(dǎo)電平板上方空間的電位分布。解　建立直角坐標(biāo)系。此電場(chǎng)問(wèn)題的待求場(chǎng)區(qū)為；場(chǎng)區(qū)的源是電量為位于點(diǎn)的點(diǎn)電荷，邊界為面，由于導(dǎo)電面延伸到無(wú)限遠(yuǎn)，其邊界條件為面上電位為零。圖3.2.1　導(dǎo)電平面上方的點(diǎn)電荷圖3.2.2　點(diǎn)電荷的鏡像電荷導(dǎo)電平板上場(chǎng)區(qū)的電位是由點(diǎn)電荷以及導(dǎo)電平面上的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的，但感應(yīng)電荷是未知的，因此，無(wú)法直接利用感應(yīng)電荷進(jìn)行計(jì)算?，F(xiàn)在考慮另一種情況，空間中有兩個(gè)點(diǎn)電荷和，分別位于和點(diǎn)，使得面的電位為零，如圖3.

3、2.2。這種情況，對(duì)于的空間區(qū)域，電荷分布與邊界條件都與前一種情況相同，根據(jù)唯一性定理，這兩種情況區(qū)域的電位是相同的。也就是說(shuō)，可以通過(guò)后一種情況中的兩個(gè)點(diǎn)電荷來(lái)計(jì)算前種問(wèn)題的待求場(chǎng)。對(duì)比這兩種情況，對(duì)區(qū)域的場(chǎng)來(lái)說(shuō)，后一種情況位于點(diǎn)的點(diǎn)電荷與前一種情況導(dǎo)電面上的感應(yīng)電荷是等效的。由于這個(gè)等效的點(diǎn)電荷與待求場(chǎng)區(qū)的點(diǎn)電荷相對(duì)于邊界面是鏡像對(duì)稱(chēng)的，所以這個(gè)等效的點(diǎn)電荷稱(chēng)為鏡像電荷，這種通過(guò)場(chǎng)區(qū)之內(nèi)的電荷與其在待求場(chǎng)區(qū)域之外的鏡像電荷來(lái)進(jìn)行計(jì)算電場(chǎng)的方法稱(chēng)為鏡像法。需要特別強(qiáng)調(diào)，鏡像法只是對(duì)特定的區(qū)域才有效，鏡像電荷一定是位于有效的場(chǎng)區(qū)之外?，F(xiàn)在回到本例中來(lái)，所求場(chǎng)區(qū)的電位應(yīng)滿足以下方程：　　　　　　

4、　　　　　　　　　　　?。?.2）邊界條件為：　　　　　　　　　　　?。?.3）　　　　　　　　　　　　（3.4）圖3.2.3　點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像電荷在處放一鏡像電荷來(lái)代替導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷的作用，并將區(qū)域換成真空。判斷能否代替的標(biāo)準(zhǔn)是看代替后在區(qū)域內(nèi)所產(chǎn)生的場(chǎng)是否仍滿足方程(3.2)和邊界條件(3.3)、(3.4)。與在的區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的電位為　　　?。?.5）時(shí)，式（3.5），因此新系統(tǒng)對(duì)邊界條件（3.3）自然滿足。同時(shí)，式（3.5）也滿足式（3.4）的邊界條件。在的區(qū)域內(nèi)的電位為　　　　　（3.6）式（3.6）既滿足方程（3.2），又滿足邊界條件式（3.3）、（3.4），由解的

5、唯一性定理可知，它就是原問(wèn)題所求的電位解。為了更好地理解鏡像法的物理含意，我們對(duì)此例再稍加討論。由式(3.6)可求出上半空間的電場(chǎng)為在的平面上，，只有即法向電場(chǎng)分量存在，亦即根據(jù)導(dǎo)體表面的邊界條件，導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷面密度為　　　　　　　?。?.7）上式表明，在導(dǎo)體表面上并不是均勻分布的，但它的總感應(yīng)電荷為　　　　?。?.8）感應(yīng)電荷總量與鏡像電荷總量相等。這一結(jié)論是合理的，因?yàn)辄c(diǎn)電荷所發(fā)出的電力線全部終止在無(wú)限大的接地導(dǎo)體平面上。討論：1）鏡像電荷是一些假想的電荷，它的引入不能改變所研究區(qū)域的原有場(chǎng)分布，因此鏡像電荷應(yīng)放在所研究的場(chǎng)區(qū)之外。2）鏡像電荷的具體位置與量值大小、符號(hào)的確定，應(yīng)滿

6、足給定的邊界條件。不過(guò)很多時(shí)候是根據(jù)界面的情況，先假定像電荷的位置，再由邊界條件來(lái)決定像電荷的大小。3）既然用鏡像電荷代替了感應(yīng)電荷的作用，因此考慮了鏡像電荷后，就認(rèn)為導(dǎo)體面（或介質(zhì)面）不存在了，把整個(gè)空間看成是無(wú)界的均勻空間。所求區(qū)域的電位等于給定電荷所產(chǎn)生的電位和鏡像電荷所產(chǎn)生的電位的疊加。例2　兩個(gè)半無(wú)限大的接地導(dǎo)電平面折成一直角區(qū)域，直角區(qū)有一點(diǎn)電荷，如圖3.2.4所示。求直角區(qū)域中的電位分布。題6圖圖3.2.4　直角區(qū)域中的點(diǎn)電荷和鏡像解　建立直角坐標(biāo)系，使直角導(dǎo)電面與坐標(biāo)平面相合，并使點(diǎn)電荷位于平面，設(shè)其坐標(biāo)為?，F(xiàn)在，待求場(chǎng)區(qū)為的區(qū)域，邊界面為面與，在邊界面上電位為零。容易看出，對(duì)

7、于如圖3.2.4所示的空間有相對(duì)坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)分布的四個(gè)點(diǎn)電荷的情況，在坐標(biāo)的第一象限與原問(wèn)題有相同的電荷分布和邊界條件。因此，可通過(guò)這四個(gè)點(diǎn)電荷求解待求場(chǎng)區(qū)的場(chǎng)，即式中，鏡像法不僅可用于以上介紹的導(dǎo)電平面和直角形導(dǎo)電面的情況，所有相交成(為正整數(shù))的兩個(gè)接地導(dǎo)體平面間的場(chǎng)（），都可用鏡像法求解，其鏡像電荷的個(gè)數(shù)為。2導(dǎo)體球面的鏡像例.3　有一點(diǎn)電荷置于半徑為的接地導(dǎo)體球外，距球心距離為處，計(jì)算導(dǎo)電球