主成分及主因子

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1、因子分析與因子分析法主成分分析通過(guò)線(xiàn)性組合將原變量綜合成幾個(gè)主成分，用較少的綜合指標(biāo)來(lái)代替原來(lái)較多的指標(biāo)（變量）。在多變量分析中，某些變量間往往存在相關(guān)性。是什么原因使變量間有關(guān)聯(lián)呢？是否存在不能直接觀(guān)測(cè)到的、但影響可觀(guān)測(cè)變量變化的公共因子？因子分析法（FactorAnalysis）就是尋找這些公共因子的模型分析方法，它是在主成分的基礎(chǔ)上構(gòu)筑若干意義較為明確的公因子，以它們?yōu)榭蚣芊纸庠兞?，以此考察原變量間的聯(lián)系與區(qū)別?？梢哉f(shuō)，因子分析是主成分分析的推廣，也是一種把多個(gè)變量化為少數(shù)幾個(gè)綜合變量的多變量分析方法，其

2、目的是用有限個(gè)不可觀(guān)測(cè)的隱變量來(lái)解釋原始變量之間的相關(guān)關(guān)系。因子分析主要用于：1、減少分析變量個(gè)數(shù)；2、通過(guò)對(duì)變量間相關(guān)關(guān)系探測(cè)，將原始變量進(jìn)行分類(lèi)。即將相關(guān)性高的變量分為一組，用共性因子代替該組變量。1.因子分析模型因子分析法是從研究變量?jī)?nèi)部相關(guān)的依賴(lài)關(guān)系出發(fā)，把一些具有錯(cuò)綜復(fù)雜關(guān)系的變量歸結(jié)為少數(shù)幾個(gè)綜合因子的一種多變量統(tǒng)計(jì)分析方法。它的基本思想是將觀(guān)測(cè)變量進(jìn)行分類(lèi)，將相關(guān)性較高，即聯(lián)系比較緊密的分在同一類(lèi)中，而不同類(lèi)變量之間的相關(guān)性則較低，那么每一類(lèi)變量實(shí)際上就代表了一個(gè)基本結(jié)構(gòu)，即公共因子。對(duì)于所研究的問(wèn)

3、題就是試圖用最少個(gè)數(shù)的不可測(cè)的所謂公共因子的線(xiàn)性函數(shù)與特殊因子之和來(lái)描述原來(lái)觀(guān)測(cè)的每一分量。因子分析模型描述如下：⑴X=(x1，x2，…，xp）￠是可觀(guān)測(cè)隨機(jī)向量，均值向量E(X)=0，協(xié)方差陣Cov(X)=∑，且協(xié)方差陣∑與相關(guān)矩陣R相等（只要將變量標(biāo)準(zhǔn)化即可實(shí)現(xiàn)）。⑵F=(F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m）￠（m

4、的，則模型：x1=a11F1+a12F2+…+a1mFm+e1x2=a21F1+a22F2+…+a2mFm+e2………xp=ap1F1+ap2F2+…+apmFm+ep稱(chēng)為因子分析模型，由于該模型是針對(duì)變量進(jìn)行的，各因子又是正交的，所以也稱(chēng)為R型正交因子模型。2.模型的統(tǒng)計(jì)意義模型中F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m叫做主因子或公共因子，它們是在各個(gè)原觀(guān)測(cè)變量的表達(dá)式中都共同出現(xiàn)的因子，是相互獨(dú)立的不可觀(guān)測(cè)的理論變量。公共因子的含義，必須結(jié)合具體問(wèn)題的實(shí)際意義而定。e1，e2，…，ep叫做特殊因子，是向量x的分量xi(i=1，

5、2，…，p）所特有的因子，各特殊因子之間以及特殊因子與所有公共因子之間都是相互獨(dú)立的。模型中載荷矩陣A中的元素（aij）是為因子載荷。因子載荷aij是xi與Fj的協(xié)方差，也是xi與Fj的相關(guān)系數(shù)，它表示xi依賴(lài)Fj的程度?？蓪ij看作第i個(gè)變量在第j公共因子上的權(quán)，aij的絕對(duì)值越大（

6、aij

7、￡1），表明xi與Fj的相依程度越大，或稱(chēng)公共因子Fj對(duì)于xi的載荷量越大。為了得到因子分析結(jié)果的經(jīng)濟(jì)解釋?zhuān)蜃虞d荷矩陣A中有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量十分重要，即變量共同度和公共因子的方差貢獻(xiàn)。因子載荷矩陣A中第i行元素之平方和記為h

8、i2，稱(chēng)為變量xi的共同度。它是全部公共因子對(duì)xi的方差所做出的貢獻(xiàn)，反映了全部公共因子對(duì)變量xi的影響。hi2大表明x的第i個(gè)分量xi對(duì)于F的每一分量F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m的共同依賴(lài)程度大。將因子載荷矩陣A的第j列（j=1，2，…，m）的各元素的平方和記為gj2，稱(chēng)為公共因子Fj對(duì)x的方差貢獻(xiàn)。gj2就表示第j個(gè)公共因子Fj對(duì)于x的每一分量xi(i=1，2，…，p）所提供方差的總和，它是衡量公共因子相對(duì)重要性的指標(biāo)。gj2越大，表明公共因子Fj對(duì)x的貢獻(xiàn)越大，或者說(shuō)對(duì)x的影響和作用就越大。如果將因子載荷矩陣A的所

9、有g(shù)j2(j=1，2，…，m）都計(jì)算出來(lái)，使其按照大小排序，就可以依此提煉出最有影響力的公共因子。3.因子旋轉(zhuǎn)建立因子分析模型的目的不僅是找出主因子，更重要的是知道每個(gè)主因子的意義，以便對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析。如果求出主因子解后，各個(gè)主因子的典型代表變量不很突出，還需要進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)，通過(guò)適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)得到比較滿(mǎn)意的主因子。旋轉(zhuǎn)的方法有很多，正交旋轉(zhuǎn)（orthogonalrotation）和斜交旋轉(zhuǎn)（obliquerotation）是因子旋轉(zhuǎn)的兩類(lèi)方法。最常用的方法是最大方差正交旋轉(zhuǎn)法（Varimax）。進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)，就是

10、要使因子載荷矩陣中因子載荷的平方值向0和1兩個(gè)方向分化，使大的載荷更大，小的載荷更小。因子旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如果因子對(duì)應(yīng)軸相互正交，則稱(chēng)為正交旋轉(zhuǎn)；如果因子對(duì)應(yīng)軸相互間不是正交的，則稱(chēng)為斜交旋轉(zhuǎn)。常用的斜交旋轉(zhuǎn)方法有Promax法等。4.因子得分因子分析模型建立后，還有一個(gè)重要的作用是應(yīng)用因子分析模型去評(píng)價(jià)每個(gè)樣品在整個(gè)模型中的地位，即進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。例如地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的因子分析模