例談構(gòu)造法常見類型

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1、例談構(gòu)造法的常見類型馮寅構(gòu)造法是數(shù)學(xué)解題中富有創(chuàng)造性的思維方法，它要求我們改變思維方向，換一個(gè)角度去思考，通過分析具體命題，構(gòu)造一些新的圖形、模型、方程、函數(shù)等。使命題中原來隱晦不清的關(guān)系和性質(zhì)，在新的構(gòu)造中清楚地展現(xiàn)出來，從而簡(jiǎn)捷地解決原命題。在中學(xué)數(shù)學(xué)中可以進(jìn)行怎樣的構(gòu)造呢？一、構(gòu)造函數(shù)例1.若，且滿足方程：和，則_________。分析：此題一時(shí)無從著手，研究已知條件，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)等式有一些相似的地方，對(duì)第二個(gè)等式進(jìn)行變形可得：，對(duì)照兩等式和所求的結(jié)論思考，是否可以找到x和2y的關(guān)系？構(gòu)造函數(shù)，則兩個(gè)條件分別變?yōu)椋汉停?，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)

2、，所以有，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以有：，即，因此，。說明：函數(shù)是數(shù)學(xué)中一種重要的知識(shí)，函數(shù)的性質(zhì)千變?nèi)f化，所以在解題中若能構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)，將會(huì)給我們的解題帶來很大的方便。二、構(gòu)造方程例2.已知，且，證明x，y，z成等差數(shù)列。分析：要證x，y，z成等差數(shù)列，其充要條件是，對(duì)照條件與結(jié)論，由條件的二次式要化為結(jié)論的一次式難度較大。仔細(xì)觀察條件式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)很象二次方程中的判別式，反過來構(gòu)造二次方程，再分析關(guān)于t的二次方程的系數(shù)特點(diǎn)，各項(xiàng)系數(shù)之和為零，所以方程必有一根為1，而方程判別式為零，所以方程有兩個(gè)等根1。由根與系數(shù)

3、關(guān)系得：即說明：每個(gè)問題都有自己深刻的內(nèi)涵，結(jié)構(gòu)上也都有各自的特點(diǎn)，在解決問題時(shí)若能深入地了解它的本質(zhì)，對(duì)我們解決問題大有益處，而構(gòu)造方程是我們構(gòu)造法中的重要內(nèi)容。三、構(gòu)造圖形例3.已知正數(shù)a、b、c，A、B、C滿足。求證：分析：此題解決的方法很多，但都不是很簡(jiǎn)單的。如何利用好已知的等式是解決此題的關(guān)鍵，我們以k為邊長構(gòu)造一個(gè)正三角形MNP（如圖1），則各頂點(diǎn)上小三角形面積之和小于大三角形的面積。故有圖1從而得說明：數(shù)與形是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的兩個(gè)方面，構(gòu)造圖形以形助數(shù)，是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種重要手段。四、構(gòu)造情景例4.求證：分析：根據(jù)等式的右邊，

4、我們可以構(gòu)造這樣的情景：“從n+m個(gè)不同的元素中取出k個(gè)元素，共有多少種不同的取法？”由于組合恒等式的左邊為k+1項(xiàng)之和，這意味著完成這件事有k+1類辦法。又因?yàn)槊宽?xiàng)都是兩個(gè)組合數(shù)的乘積，表示每一類辦法都需分兩步來完成。第一步在其中n個(gè)元素中取i個(gè)，第二步在另m個(gè)元素中取個(gè)（，），每類辦法都是總共取出k個(gè)元素。至此，易得這個(gè)恒等式。說明：通過上例，我們可以看出，在證明某些等式時(shí)，我們可以先為它設(shè)置一個(gè)情景，在這個(gè)情景下，通過新的知識(shí)加以解決。五、構(gòu)造對(duì)稱例5.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值。分析：這是一個(gè)很普通的三角

5、題目，解法很多。注意到，可設(shè)，構(gòu)造，再將a與b相乘得：所以說明：對(duì)稱是數(shù)學(xué)中的一種重要表示形式，在解決問題時(shí)我們經(jīng)常利用對(duì)稱的思想，當(dāng)所給的條件不具備對(duì)稱時(shí)，我們可以創(chuàng)造條件利用對(duì)稱來解題。六、構(gòu)造模型例6.求二元函數(shù)的最小值。分析：此題很難用常規(guī)的方法來加以解決。觀察結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，很象兩點(diǎn)之間的距離公式。把函數(shù)關(guān)系看成是點(diǎn)P（x，）和點(diǎn)Q（y，）的距離，而點(diǎn)P（x，）的軌跡是直線：，點(diǎn)Q（y，）的軌跡是雙曲線：，所以原問題轉(zhuǎn)化為：直線上的點(diǎn)和雙曲線上的點(diǎn)的距離平方的最小值。由圖象可知，AB連線過原點(diǎn)且與直線垂直時(shí)，其交點(diǎn)C到B最近。此時(shí)，A

6、、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)是A（1，1），B（―1，―1），C（，），，即F（x，y）的最小值是。圖2說明：數(shù)學(xué)中很多公式就是一個(gè)模型，如兩點(diǎn)之間的距離公式，直線的斜率公式，定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，復(fù)數(shù)的模等等。只要我們仔細(xì)觀察，合理構(gòu)建，一定能找到合適的解題途徑。