有趣 “黃金分割”

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1、有趣的“黃金分割”江蘇唐耀庭ABCD圖（1）我們已經(jīng)知道，如果線段AB被點(diǎn)C分成線段AC和BC，且，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比。通過計(jì)算可知黃金比為。下面我們在從數(shù)學(xué)的角度看一看“黃金分割”的幾個(gè)有趣的結(jié)論．（1）對稱性：我們可以得出，如果線段AB上另有一點(diǎn)D，滿足BD=BA·AD，那么D點(diǎn)也是AB的黃金分點(diǎn)，因此，一條線段的黃金分割點(diǎn)應(yīng)該有兩個(gè)：其中一個(gè)靠近這個(gè)端點(diǎn)，而另一個(gè)靠近另一個(gè)端點(diǎn)．（2）有趣的數(shù)量關(guān)系設(shè)C、D為線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB長為a（如圖1），則不難由定義證明（設(shè)C點(diǎn)靠近B點(diǎn)）：；B

2、C=AD=；CD=；僅以上面二式為例加以證明：BC=AD====．（3）有趣的比例關(guān)系式如前面的圖（1）所示，有≈0.618．再由定義可以知道，點(diǎn)C不僅是AB的黃金分割點(diǎn)，還是BD的黃金分割點(diǎn)，同樣，點(diǎn)D不僅是AB的黃金分割點(diǎn)，也是AC的黃金分割點(diǎn)。將上式分子、分母顛倒后又得到：≈0.618．由此，又可以得到一個(gè)有趣的結(jié)論：0.618與1.618可近似地看成倒數(shù)關(guān)系，也就是說，方程x(1+x)=1的正的近似解約是0.618，而方程x（x－1）=1的正的近似解約是1.618．（4）“黃金角度”生物學(xué)家發(fā)現(xiàn)植物種類繁多、葉子形態(tài)各異，但是葉子在莖上的排列卻有著特殊的

3、規(guī)律.我們從某種植物的頂端往下看，便會(huì)發(fā)現(xiàn)上下層相鄰的兩片葉子之間所構(gòu)成的角約為137.50,如果每層葉子只畫一片來表示，第一層和第二層的相鄰兩葉之間的角度約為137.50,以后二層到三層、三層到四層、四層到五層……兩葉之間都成這個(gè)角度，這個(gè)角度對葉子的通風(fēng)和采光最為有利.這葉子之間的137.50角與黃金數(shù)又有什么聯(lián)系呢？我們知道，一周為3600，137.50：=137.50：222.50≈0.618.也就是說，各種植物葉子的生長規(guī)律中自然隱藏著黃金數(shù).（5）黃金三角形頂角為36的等腰三角形叫黃金三角形．其底與腰之比為黃金數(shù)，底角平分線與腰的交點(diǎn)為腰的黃金分割點(diǎn)

4、．如圖（2），△ABC中，∠A=36，AB=AC，∠ACB的平分線CD交腰AB于D，則BC=DC=AD，且△ABC～△CBD，∴.即AD=BD·AB，∴AD=BC=AB．再作∠B的平分線交CD于，作∠BDC的平分線交于，得到△、△，均為黃金三角形，如此下去則可得到一系列的黃金三角形．DABCDD圖（2）ABDEPNMRCQ圖（3）感興趣的同學(xué)，利用上述結(jié)論解決下列問題：①找出五角星中所有的黃金分割點(diǎn)和黃金三角形．（如圖3）（有五個(gè)黃金分割點(diǎn)P、Q、R、M、N和２０個(gè)黃金三角形）．②可以巧用“黃金比”妙畫五角星③若上圖的第一個(gè)黃金三角形的腰，底邊與腰之比為,第二個(gè)

5、黃金三角形為，依次類推，第2008個(gè)黃金三角形的周長為多少？(∵,∴的周長為；的周長為；的周長為；…依次類推，第2008個(gè)黃金三角形的周長為對于頂角為108°等腰三角形又可稱之為“亞黃金三角形”,它在分割出黃金三角形后也能無數(shù)次的分割得到新的等腰三角形。（6）黃金矩形一個(gè)矩形如果兩邊之比具有黃金比值，則稱這種矩形為黃金矩形．它是由一個(gè)正方形和另一個(gè)小黃金矩形組成。事實(shí)上，如圖（4），如果設(shè)大黃金矩形的兩邊為a、b，則=，分出一個(gè)正方形后，所余小矩形的兩邊分別為（b－a）和a，它們的比為（b－a）：a圖（4）b－aba=－1=．這表明小的矩形也是黃金矩形。上述黃金

6、矩形的性質(zhì)說明:①黃金矩形中，以短邊為一邊作正方形后得到的另一矩形，都是黃金矩形或以短邊為一邊作正方形后得到的另一矩形，都是相似矩形，相似比為②可以把一個(gè)黃金矩形分解為無限個(gè)正方形之和，圖（4）也表明了分解過程．（7）“黃金分割線”類似“黃金分割”得定義：直線將一個(gè)面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為，，如果，那么稱直線為該圖形的黃金分割線．問題1：①在中，若點(diǎn)為邊上的黃金分割點(diǎn)（如圖5），則直線是的黃金分割線．②過點(diǎn)任作一條直線交于點(diǎn)，再過點(diǎn)作直線，交于點(diǎn)，連接（如圖6），則直線也是的黃金分割線．ADB圖5CADB圖6CFE分析過程：①直線是的黃金分割

7、線．理由如下：　　　設(shè)的邊上的高為．　　∵　,∴　　∴．　　　∴直線是的黃金分割線．　　?、谝?yàn)椋院偷墓策吷系母咭蚕嗟?，所以有．　設(shè)直線與交于點(diǎn)．所以．　所以　，．　又因?yàn)椋裕∫虼?，直線也是的黃金分割線．問題2：）如圖7，點(diǎn)E是□ABCD的邊AB的黃金分割點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF//AD，交DC于點(diǎn)F，顯然直線EF是□ABCD的黃金分割線．請你畫一條ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過□ABCD各邊黃金分割點(diǎn)．分析過程：畫法不惟一，現(xiàn)提供兩種畫法；畫法一：如圖5，取EF的中點(diǎn)G，再過點(diǎn)G作一條直線分別交AB，DC于M，N點(diǎn)，則直線MN就是□ABCD的黃金分割線．

8、畫法二：如圖6，在DF上