資源描述：
《協(xié)方差與相關系數(shù)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、二維隨機變量的期望與方差對于二維隨機變量，如果存在，則稱為二維隨機變量的數(shù)學期望。1、當(X，Y)為二維離散型隨機變量時2、當(X，Y)為二維連續(xù)型隨機變量時例題2.39 設，求?！ ??與一維隨機變量函數(shù)的期望一樣，可求出二維隨機變量函數(shù)的期望。對二維離散型隨機變量(X，Y)，其函數(shù)的期望為????對二維連續(xù)型隨機變量(X，Y)，其函數(shù)的期望為?例題2.40 設，求2.41 設(X，Y)服從區(qū)域A上的均勻分布，其中A為x軸、y軸及直線圍成的三角形區(qū)域，如圖2-10所示。求函數(shù)的數(shù)學期望?！ ????
2、?隨機變量的數(shù)學期望和方差的三個重要性質(zhì)：1、推廣：2、 設X與Y相互獨立，則??推廣：設相互獨立，則????3、 設X與Y相互獨立，則??推廣：設相互獨立，則?????僅對性質(zhì)3就連續(xù)型隨機變量加以證明證明3由于X與Y相互獨立，所以與相互獨立，利用性質(zhì)2、知道?????從而有，可以證明：相互獨立的隨機變量其各自的函數(shù)間，仍然相互獨立。例題2.42 某學校流行某種傳染病，患者約占，為此學校決定對全校1000名師生進行抽血化驗?，F(xiàn)有兩個方案：①逐個化驗；②按四個人一組分組，并把四個人抽到的血混合在一起化驗
3、，若發(fā)現(xiàn)有問題再對四個人逐個化驗。問那種方案好？2.10.2協(xié)方差與相關系數(shù)分析協(xié)方差與相關系數(shù)反映隨機變量各分量間的關系；結(jié)合上面性質(zhì)3的證明，可以得到以下結(jié)論：若X與Y相互獨立，則?可以用來刻劃X與Y之間的某種關系。定義 設(X，Y)為二維隨機變量，若存在，則稱它為隨機變量X與Y的協(xié)方差，記作或，即特別地???故方差，是協(xié)方差的特例。計算協(xié)方差通常采用如下公式：例題2.43 設二維隨機變量(X，Y)的分布密度求定義 若存在，且大于零，則稱為X與Y的相關系數(shù)，記作，即或若，則稱X與Y不相關。由上述討論
4、知，當X與Y相互獨立時，協(xié)方差，從而。即X與Y相互獨立時，X與Y一定不相關。但X與Y不相關時，X與Y未必獨立。例題2.44 設，即X的分布函數(shù)又。試證明X與Y不相關，也不相互獨立。 ???????上例說明，若，則與不相關。但，說明Y與X間確實存在某種關系。實質(zhì)上，所刻劃的只是隨機變量X與Y之間的線性相關程度。若為隨機變量X與Y之間的相關系數(shù)，則有1、 2、 的充要條件是：，其中a，b為常數(shù)，且a≠0。從上述結(jié)論看出，的值域為[-1,1]，當時，表明X與Y之間幾乎成線性相關關系：。當時，X與Y不相關。
5、注意，這里所講的不相關，僅指不線性相關，雖然不線性相關，可能有其它的（如二次函數(shù)）非線性的相關關系。對于二維正態(tài)分布，我們已經(jīng)證明了二維正態(tài)變量的兩個分量X與Y獨立的充要條件是。還可以證明：恰好是兩個正態(tài)分量X與Y的相關系數(shù)。對于二維正態(tài)變量，X與Y相互獨立與不相關是等價的。2.10.3矩 協(xié)方差矩陣定義 設X是隨機變量，若， 存在，則稱為X的k階原點矩，稱為X的k階中心矩。矩是隨機變量的重要數(shù)字特征，數(shù)學期望和方差是它們的特例。當X是離散型隨機變量時????， 當X是連續(xù)型隨機變量時?????????
6、例題2.45 設，求。定義 設(X，Y)為二維隨機變量，若， 存在，則分別稱為二維隨機變量(X，Y)的階混合原點矩和階混合中心矩。顯然，協(xié)方差是(X，Y)的二階混合中心矩，簡稱為二階中心矩。若二維隨機變量(X，Y)的四個二階中心矩都存在，分別記為??將它們排成矩陣形式稱為二維隨機變量的協(xié)方差矩陣。????相關系數(shù)性質(zhì)的證明定理1?.證：因為對于、的標準化隨機變量、有，所以???D()=D+D2=22=2(1)???即???.定理2?當且僅當時，=1，且當b>0時，=1；當b<0時，=-1.證：(1)設，
7、則，，??????????即??當b>0時，=1；當b<0時，=-1.?????(2)設=1，由定理1的證明可知D()=2(1)，??即??當=1時，=2()=0；???????當=-1時，D(+)=2(1+)=0，???則??當時,D()==0??即??.又由，得，即在概率為1的意義下，當時,所以，其中定理3?與獨立時=0.證：因為當與獨立時，所以=0
