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《協(xié)方差與相關系數(shù)》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、二維隨機變量的期望與方差對于二維隨機變量,如果存在,則稱為二維隨機變量的數(shù)學期望。1、當(X,Y)為二維離散型隨機變量時2、當(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量時例題2.39 設,求?! ??與一維隨機變量函數(shù)的期望一樣,可求出二維隨機變量函數(shù)的期望。對二維離散型隨機變量(X,Y),其函數(shù)的期望為????對二維連續(xù)型隨機變量(X,Y),其函數(shù)的期望為?例題2.40 設,求2.41 設(X,Y)服從區(qū)域A上的均勻分布,其中A為x軸、y軸及直線圍成的三角形區(qū)域,如圖2-10所示。求函數(shù)的數(shù)學期望?! ????
2、?隨機變量的數(shù)學期望和方差的三個重要性質(zhì):1、推廣:2、 設X與Y相互獨立,則??推廣:設相互獨立,則????3、 設X與Y相互獨立,則??推廣:設相互獨立,則?????僅對性質(zhì)3就連續(xù)型隨機變量加以證明證明3由于X與Y相互獨立,所以與相互獨立,利用性質(zhì)2、知道?????從而有,可以證明:相互獨立的隨機變量其各自的函數(shù)間,仍然相互獨立。例題2.42 某學校流行某種傳染病,患者約占,為此學校決定對全校1000名師生進行抽血化驗?,F(xiàn)有兩個方案:①逐個化驗;②按四個人一組分組,并把四個人抽到的血混合在一起化驗
3、,若發(fā)現(xiàn)有問題再對四個人逐個化驗。問那種方案好?2.10.2協(xié)方差與相關系數(shù)分析協(xié)方差與相關系數(shù)反映隨機變量各分量間的關系;結(jié)合上面性質(zhì)3的證明,可以得到以下結(jié)論:若X與Y相互獨立,則?可以用來刻劃X與Y之間的某種關系。定義 設(X,Y)為二維隨機變量,若存在,則稱它為隨機變量X與Y的協(xié)方差,記作或,即特別地???故方差,是協(xié)方差的特例。計算協(xié)方差通常采用如下公式:例題2.43 設二維隨機變量(X,Y)的分布密度求定義 若存在,且大于零,則稱為X與Y的相關系數(shù),記作,即或若,則稱X與Y不相關。由上述討論
4、知,當X與Y相互獨立時,協(xié)方差,從而。即X與Y相互獨立時,X與Y一定不相關。但X與Y不相關時,X與Y未必獨立。例題2.44 設,即X的分布函數(shù)又。試證明X與Y不相關,也不相互獨立。 ???????上例說明,若,則與不相關。但,說明Y與X間確實存在某種關系。實質(zhì)上,所刻劃的只是隨機變量X與Y之間的線性相關程度。若為隨機變量X與Y之間的相關系數(shù),則有1、 2、 的充要條件是:,其中a,b為常數(shù),且a≠0。從上述結(jié)論看出,的值域為[-1,1],當時,表明X與Y之間幾乎成線性相關關系:。當時,X與Y不相關。
5、注意,這里所講的不相關,僅指不線性相關,雖然不線性相關,可能有其它的(如二次函數(shù))非線性的相關關系。對于二維正態(tài)分布,我們已經(jīng)證明了二維正態(tài)變量的兩個分量X與Y獨立的充要條件是。還可以證明:恰好是兩個正態(tài)分量X與Y的相關系數(shù)。對于二維正態(tài)變量,X與Y相互獨立與不相關是等價的。2.10.3矩 協(xié)方差矩陣定義 設X是隨機變量,若, 存在,則稱為X的k階原點矩,稱為X的k階中心矩。矩是隨機變量的重要數(shù)字特征,數(shù)學期望和方差是它們的特例。當X是離散型隨機變量時????, 當X是連續(xù)型隨機變量時?????????
6、例題2.45 設,求。定義 設(X,Y)為二維隨機變量,若, 存在,則分別稱為二維隨機變量(X,Y)的階混合原點矩和階混合中心矩。顯然,協(xié)方差是(X,Y)的二階混合中心矩,簡稱為二階中心矩。若二維隨機變量(X,Y)的四個二階中心矩都存在,分別記為??將它們排成矩陣形式稱為二維隨機變量的協(xié)方差矩陣。????相關系數(shù)性質(zhì)的證明定理1?.證:因為對于、的標準化隨機變量、有,所以???D()=D+D2=22=2(1)???即???.定理2?當且僅當時,=1,且當b>0時,=1;當b<0時,=-1.證:(1)設,
7、則,,??????????即??當b>0時,=1;當b<0時,=-1.?????(2)設=1,由定理1的證明可知D()=2(1),??即??當=1時,=2()=0;???????當=-1時,D(+)=2(1+)=0,???則??當時,D()==0??即??.又由,得,即在概率為1的意義下,當時,所以,其中定理3?與獨立時=0.證:因為當與獨立時,所以=0