線性代數(shù)本質(zhì)

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1、線性代數(shù)的本質(zhì)偶爾在網(wǎng)上看到此篇文章，很受啟發(fā)，轉(zhuǎn)載過(guò)來(lái)共勉。線性代數(shù)課程，無(wú)論你從行列式入手還是直接從矩陣入手，從一開始就充斥著莫名其妙。比如說(shuō)，在全國(guó)一般工科院系教學(xué)中應(yīng)用最廣泛的同濟(jì)線性代數(shù)教材（現(xiàn)在到了第四版），一上來(lái)就介紹逆序數(shù)這個(gè)古怪概念，然后用逆序數(shù)給出行列式的一個(gè)極不直觀的定義，接著是一些簡(jiǎn)直犯傻的行列式性質(zhì)和習(xí)題——把這行乘一個(gè)系數(shù)加到另一行上，再把那一列減過(guò)來(lái)，折騰得那叫一個(gè)熱鬧，可就是壓根看不出這個(gè)東西有嘛用。大多數(shù)像我一樣資質(zhì)平庸的學(xué)生到這里就有點(diǎn)犯暈：連這是個(gè)什么東西都模模糊糊的，就開始鉆

2、火圈表演了，這未免太無(wú)厘頭了吧！于是開始有人逃課，更多的人開始抄作業(yè)。這下就中招了，因?yàn)槠浜蟮陌l(fā)展可以用一句峰回路轉(zhuǎn)來(lái)形容，緊跟著這個(gè)無(wú)厘頭的行列式的，是一個(gè)同樣無(wú)厘頭但是偉大的無(wú)以復(fù)加的家伙的出場(chǎng)——矩陣來(lái)了！多年之后，我才明白，當(dāng)老師犯傻似地用中括號(hào)把一堆傻了吧嘰的數(shù)括起來(lái)，并且不緊不慢地說(shuō)：“這個(gè)東西叫做矩陣”的時(shí)候，我的數(shù)學(xué)生涯掀開了何等悲壯辛酸、慘絕人寰的一幕！自那以后，在幾乎所有跟“學(xué)問(wèn)”二字稍微沾點(diǎn)邊的東西里，矩陣這個(gè)家伙從不缺席。對(duì)于我這個(gè)沒(méi)能一次搞定線性代數(shù)的笨蛋來(lái)說(shuō)，矩陣?yán)洗蟮牟徽?qǐng)自來(lái)每每搞得我

3、灰頭土臉，頭破血流。長(zhǎng)期以來(lái)，我在閱讀中一見(jiàn)矩陣，就如同阿Q見(jiàn)到了假洋鬼子，揉揉額角就繞道走。事實(shí)上，我并不是特例。一般工科學(xué)生初學(xué)線性代數(shù)，通常都會(huì)感到困難。這種情形在國(guó)內(nèi)外皆然。瑞典數(shù)學(xué)家LarsGarding在其名著EncounterwithMathematics中說(shuō)：“如果不熟悉線性代數(shù)的概念，要去學(xué)習(xí)自然科學(xué)，現(xiàn)在看來(lái)就和文盲差不多。然而“按照現(xiàn)行的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，線性代數(shù)是通過(guò)公理化來(lái)表述的，它是第二代數(shù)學(xué)模型，這就帶來(lái)了教學(xué)上的困難。”事實(shí)上，當(dāng)我們開始學(xué)習(xí)線性代數(shù)的時(shí)候，不知不覺(jué)就進(jìn)入了“第二代數(shù)學(xué)模型”

4、的范疇當(dāng)中，這意味著數(shù)學(xué)的表述方式和抽象性有了一次全面的進(jìn)化，對(duì)于從小一直在“第一代數(shù)學(xué)模型”，即以實(shí)用為導(dǎo)向的、具體的數(shù)學(xué)模型中學(xué)習(xí)的我們來(lái)說(shuō)，在沒(méi)有并明確告知的情況下進(jìn)行如此劇烈的paradigmshift，不感到困難才是奇怪的。大部分工科學(xué)生，往往是在學(xué)習(xí)了一些后繼課程，如數(shù)值分析、數(shù)學(xué)規(guī)劃、矩陣論之后，才逐漸能夠理解和熟練運(yùn)用線性代數(shù)。即便如此，不少人即使能夠很熟練地以線性代數(shù)為工具進(jìn)行科研和應(yīng)用工作，但對(duì)于很多這門課程的初學(xué)者提出的、看上去是很基礎(chǔ)的問(wèn)題卻并不清楚。比如說(shuō)：1、矩陣究竟是什么東西？2、向量

5、可以被認(rèn)為是具有n個(gè)相互獨(dú)立的性質(zhì)（維度）的對(duì)象的表示，矩陣又是什么呢？3、我們?nèi)绻J(rèn)為矩陣是一組列（行）向量組成的新的復(fù)合向量的展開式，那么為什么這種展開式具有如此廣泛的應(yīng)用？特別是，為什么偏偏二維的展開式如此有用？4、如果矩陣中每一個(gè)元素又是一個(gè)向量，那么我們?cè)僬归_一次，變成三維的立方陣，是不是更有用？5、矩陣的乘法規(guī)則究竟為什么這樣規(guī)定？為什么這樣一種怪異的乘法規(guī)則卻能夠在實(shí)踐中發(fā)揮如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相關(guān)的問(wèn)題，最后竟然都?xì)w結(jié)到矩陣的乘法，這難道不是很奇妙的事情？難道在矩陣乘法那看上去莫名

6、其妙的規(guī)則下面，包含著世界的某些本質(zhì)規(guī)律？如果是的話，這些本質(zhì)規(guī)律是什么？6、行列式究竟是一個(gè)什么東西？為什么會(huì)有如此怪異的計(jì)算規(guī)則？行列式與其對(duì)應(yīng)方陣本質(zhì)上是什么關(guān)系？為什么只有方陣才有對(duì)應(yīng)的行列式，而一般矩陣就沒(méi)有（不要覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題很蠢，如果必要，針對(duì)mxn矩陣定義行列式不是做不到的，之所以不做，是因?yàn)闆](méi)有這個(gè)必要，但是為什么沒(méi)有這個(gè)必要）？而且，行列式的計(jì)算規(guī)則，看上去跟矩陣的任何計(jì)算規(guī)則都沒(méi)有直觀的聯(lián)系，為什么又在很多方面決定了矩陣的性質(zhì)？難道這一切僅是巧合？7、矩陣為什么可以分塊計(jì)算？分塊計(jì)算這件事情看上

7、去是那么隨意，為什么竟是可行的？8、對(duì)于矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算AT，有(AB)T=BTAT，對(duì)于矩陣求逆運(yùn)算A-1，有(AB)-1=B-1A-1。兩個(gè)看上去完全沒(méi)有什么關(guān)系的運(yùn)算，為什么有著類似的性質(zhì)？這僅僅是巧合嗎？9、為什么說(shuō)P-1AP得到的矩陣與A矩陣“相似”？這里的“相似”是什么意思？10、特征值和特征向量的本質(zhì)是什么？它們定義就讓人很驚訝，因?yàn)锳x=λx，一個(gè)諾大的矩陣的效應(yīng)，竟然不過(guò)相當(dāng)于一個(gè)小小的數(shù)λ，確實(shí)有點(diǎn)奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”來(lái)界定？它們刻劃的究竟是什么？這樣的一類問(wèn)題，經(jīng)常讓使用線性代數(shù)已

8、經(jīng)很多年的人都感到為難。就好像大人面對(duì)小孩子的刨根問(wèn)底，最后總會(huì)迫不得已地說(shuō)“就這樣吧，到此為止”一樣，面對(duì)這樣的問(wèn)題，很多老手們最后也只能用：“就是這么規(guī)定的，你接受并且記住就好”來(lái)搪塞。然而，這樣的問(wèn)題如果不能獲得回答，線性代數(shù)對(duì)于我們來(lái)說(shuō)就是一個(gè)粗暴的、不講道理的、莫名其妙的規(guī)則集合，我們會(huì)感到，自己并不是在學(xué)習(xí)一門學(xué)問(wèn)，而是被不由分說(shuō)地“拋到”一個(gè)強(qiáng)