尋芳陌上花如錦,折得東風(fēng)第一枝

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1、尋芳陌上花如錦，折得東風(fēng)第一枝——三角恒等變換中的幾種常用思想方法探究　三角函數(shù)是每年高考必考的內(nèi)容之一,相關(guān)試題靈活多樣,但往往都離不開(kāi)一個(gè)共同的解題途徑——就是利用公式對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行恒等變形.因此,在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí),一定要掌握三角函數(shù)式變形、化簡(jiǎn)的方法和技巧.三角函數(shù)的核心問(wèn)題是三角恒等變換，證明或求解三角恒等問(wèn)題是三角函數(shù)中的重要題型，也是熱門(mén)問(wèn)題。三角恒等變換問(wèn)題涉及公式多，變化多，除了要熟悉公式外，還需要掌握一些恒等變換的基本思想方法，要善于辨別式中的差異：如角度差異、函數(shù)名稱差異、形式的差異等。把握解題目標(biāo)，靈活應(yīng)用公式，配以基本

2、解題技法，則可以為應(yīng)用公式創(chuàng)造條件，開(kāi)辟解題途徑，提高解題效率。一、“1”的妙用。我們知道，同角三角函數(shù)關(guān)系中，1=sin2α+cos2α，故等式中的“1”有時(shí)可以代換為正、余弦的平方和，這樣可給證明恒等式帶來(lái)方便。例1：求證：=tan-cot.證明：左邊===—=tan-cot=右邊.∴=tan-cot成立.例2：求證：=.證明：注意左邊分子，1=sin2+cos2，而sin2=2sin·cos左邊===（分子分母同除以cos）==右邊.∴=成立.注：在三角恒等變換中，也常把sin2+cos2代換為“1”。二、湊配法在三角函數(shù)中,角的

3、“和”、“差”、“倍”、“半”都是相對(duì)而言的.二倍角公式不僅可以運(yùn)用于將2α作為α的2倍的情況,還可以運(yùn)用于諸如將4α作為2α的2倍,將α作為α/2的2倍,將α/2作為α/4的2倍,將3α作為3α/2的2倍等的情況.另外,也常用如下的配湊角的方法:α=(α+β)-β=(α-β)+β=α+β2+α-β2,2α=(α+β)+(α-β),2α+β=(α+β)+α,2α-β=(α-β)+α,10°=30°-20°,50°=30°+20°,15°=45°-30°,75°=45°+30°等.解題過(guò)程中應(yīng)充分利用這些變形.在條件等式的求證過(guò)程中，往往存在待證

4、式中的角與條件式中的角度的不同。這時(shí)，我們可以考慮用待證式中的角，表示已知式中的角度，達(dá)到消除角度差異的目的，然后再進(jìn)行恒等變形，可達(dá)事半功倍的效果。例3：已知：2tan=3tan，求證：tan(-)=.證明：∵2tan=3tan∴2tan[(—)+]∴2·=3tan整理得：tan(-)====.例4：已知：＜＜＜，cos(-)=，sin(+)=—，求sin2的值。解：∵＜＜＜∴0＜-＜π＜+＜∴sin(-)=cos（+）=—∴sin2=sin[(-)+(+)]=sin(-)·cos(+)+cos(-)·sin（+)=×（—）+×（—）=—.三

5、、切割化弦法。若三角等式中，含有切、割函數(shù)時(shí)，可利用同角三角函數(shù)關(guān)系中商的關(guān)系和倒數(shù)關(guān)系化切、割函數(shù)為正、余弦函數(shù)。例5：求證：+=1—sin·cos.證明：左邊=+=+===1—sin·cos=右邊∴+=1—sin·cos.例6：求證：=sin+cos.證明：左邊====sin+cos=右邊.∴=sin+cos成立.以上例5、例6證明中采用的是“切、割化弦”法，化弦是三角恒等式證明中常用的基本思想方法。四、添項(xiàng)配方法。例7：求證：sin8+cos8=1－4sin2·cos2+2sin4·cos4證明：左邊=sin8+cos8－2sin4·co

6、s4+2sin4·cos4=(sin4－cos4)2+2sin4·cos4=(sin2+cos2)2·(sin2－cos2)2＋2sin4·cos4=(sin2－cos2)2＋2sin4·cos4=(sin2+cos2)2－4sin2·cos2+2sin4·cos4=1－4sin2·cos2+2sin4·cos4=右邊.∴sin8+cos8=1－4sin2·cos2+2sin4·cos4成立。三角恒等變換題的解答，方法不一，靈活多變，關(guān)鍵要善于辨別差異，把握證題方向，靈活運(yùn)用公式及解題技巧，才能夠提高三角恒等證題能力。