第二講 平面向量解題技巧

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1、第二講平面向量的解題技巧第二講平面向量的解題技巧【命題趨向】由2007年高考題分析可知：1．這部分內(nèi)容高考中所占分?jǐn)?shù)一般在10分左右．2．題目類型為一個(gè)選擇或填空題，一個(gè)與其他知識(shí)綜合的解答題．3．考查內(nèi)容以向量的概念、運(yùn)算、數(shù)量積和模的運(yùn)算為主．【考點(diǎn)透視】“平面向量”是高中新課程新增加的內(nèi)容之一，高考每年都考，題型主要有選擇題、填空題，也可以與其他知識(shí)相結(jié)合在解答題中出現(xiàn)，試題多以低、中檔題為主．透析高考試題，知命題熱點(diǎn)為：1．向量的概念，幾何表示，向量的加法、減法，實(shí)數(shù)與向量的積．2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量的數(shù)量積及其幾何意義．3．兩非零向量平行、垂直的充要條件．4．圖形平移、

2、線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式．5．由于向量具有“數(shù)”與“形”雙重身份，加之向量的工具性作用，向量經(jīng)常與數(shù)列、三角、解析幾何、立體幾何等知識(shí)相結(jié)合，綜合解決三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值及三角形中的有關(guān)問題，處理有關(guān)長(zhǎng)度、夾角、垂直與平行等問題以及圓錐曲線中的典型問題等．6．利用化歸思想處理共線、平行、垂直問題向向量的坐標(biāo)運(yùn)算方面轉(zhuǎn)化，向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算等；利用數(shù)形結(jié)合思想將幾何問題代數(shù)化，通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題．【例題解析】1.向量的概念，向量的基本運(yùn)算(1)理解向量的概念，掌握向量的幾何意義，了解共線向量的概念.(2)掌握向量的加法和減法.(3)掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件

3、.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.(5)掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義,了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題,掌握向量垂直的條件.(6)掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式.例1（2007年北京卷理）已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，為邊中點(diǎn)，且，那么（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．命題意圖:本題考查能夠結(jié)合圖形進(jìn)行向量計(jì)算的能力．解：故選A．例2．（2006年安徽卷）在中，，M為BC的中點(diǎn)，則______.（用表示）命題意圖:本題主要考查向量的加法和減法,以及實(shí)數(shù)與向量的積.解：，，所以,.例3．（2006年廣東卷）如圖1所示，D是△ABC的邊AB上

4、的中點(diǎn)，則向量()（A）（B）（C）（D）命題意圖:本題主要考查向量的加法和減法運(yùn)算能力.解：，故選A.例4．(2006年重慶卷)與向量=的夾解相等，且模為1的向量是()(A)(B)或（C）（D）或命題意圖:本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和用平面向量處理有關(guān)角度的問題.解：設(shè)所求平面向量為由另一方面,當(dāng)當(dāng)故平面向量與向量=的夾角相等.故選B.例5．（2006年天津卷）設(shè)向量與的夾角為，且，，則__．命題意圖:本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積,以及用平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)角度的問題.解:例6.（2006年湖北卷）已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則=（）（A）（B）（C

5、）（D）命題意圖:本題主要考查應(yīng)用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積,以及方程的思想解題的能力.解:設(shè)，則依題意有故選B.例7.設(shè)平面向量、、的和.如果向量、、，滿足，且順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與同向，其中，則（）（A）（B）（C）（D）命題意圖:本題主要考查向量加法的幾何意義及向量的模的夾角等基本概念.常規(guī)解法：∵，∴故把2(i=1,2,3)，分別按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30后與重合，故，應(yīng)選D.巧妙解法：令=，則=，由題意知=，從而排除B，C，同理排除A，故選(D).點(diǎn)評(píng)：巧妙解法巧在取=，使問題簡(jiǎn)單化.本題也可通過畫圖,利用數(shù)形結(jié)合的方法來解決.2.平面向量與三角函數(shù),解析幾何等問題結(jié)合(1)平面向量與三

6、角函數(shù)、三角變換、數(shù)列、不等式及其他代數(shù)問題，由于結(jié)合性強(qiáng)，因而綜合能力較強(qiáng)，所以復(fù)習(xí)時(shí)，通過解題過程，力爭(zhēng)達(dá)到既回顧知識(shí)要點(diǎn)，又感悟思維方法的雙重效果，解題要點(diǎn)是運(yùn)用向量知識(shí)，將所給問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解.(2)解答題考查圓錐曲線中典型問題，如垂直、平行、共線等，此類題綜合性比較強(qiáng)，難度大.例8．（2007年陜西卷理17.）設(shè)函數(shù)f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)的最小值及此時(shí)x的值的集合.解：（Ⅰ），由已知，得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，當(dāng)時(shí)，的最小值為，由，得值的集合為

7、例2．（2007年陜西卷文17）設(shè)函數(shù).其中向量.（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值;（Ⅱ）求函數(shù)的最小值.解：（Ⅰ），，得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，當(dāng)時(shí)，的最小值為．例9．（2007年湖北卷理16）已知的面積為，且滿足，設(shè)和的夾角為．（I）求的取值范圍；（II）求函數(shù)的最大解：（Ⅰ）設(shè)中角的對(duì)邊分別為，則由，，可得，．（Ⅱ）．，，．即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．例10．（2007年廣東卷理）　已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為A(3,4)、B(0,0)