授課章節(jié)（5號宋字體）

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1、《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案第五章微分中值定理及其應(yīng)用§1微分中值定理l引言在前一章中，我們引進(jìn)了導(dǎo)數(shù)的概念，詳細(xì)地討論了計算導(dǎo)數(shù)的方法。這樣一來，類似于求已知曲線上點的切線問題已獲完美解決。但如果想用導(dǎo)數(shù)這一工具去分析、解決復(fù)雜一些的問題，那么，只知道怎樣計算導(dǎo)數(shù)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，而要以此為基礎(chǔ)，發(fā)展更多的工具。另一方面，我們注意到：（1）函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)是兩個不同的的函數(shù)；（2）導(dǎo)數(shù)只是反映函數(shù)在一點的局部特征；（3）我們往往要了解函數(shù)在其定義域上的整體性態(tài)，因此如何解決這個矛盾？需要在導(dǎo)數(shù)及函數(shù)間建立起一一聯(lián)系――搭起一座橋，這個“橋”就是微分中值定理。本章以中值定理為中心，來討論導(dǎo)數(shù)在研究函

2、數(shù)性態(tài)（單調(diào)性、極值、凹凸性質(zhì)）方面的應(yīng)用。一費(fèi)馬定理定義1（極值）若函數(shù)f在區(qū)間上有定義，。若存在的鄰域，使得對于任意的，有，則稱f在點取得極大值，稱點為極大值點。若存在的鄰域，使得對于任意的，有，則稱f在點取得極小值，稱點為極小值點。極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點。極值存在的必要條件――費(fèi)馬定理費(fèi)馬定理若函數(shù)在點的鄰域內(nèi)有定義，且在點可導(dǎo)。若為f的極值點，則比有。幾何意義：可導(dǎo)極值點的切線平行于軸。由費(fèi)馬定理可知,可導(dǎo)極值點是穩(wěn)定點，反之不然。如,點x=0是穩(wěn)定點，但不是極值點。二中值定理Lagrange定理若函數(shù)f滿足以下條件：（1）f在上連續(xù)；（2）f在)內(nèi)可

3、導(dǎo)。則在內(nèi)至少存在一點，使得。特別地，當(dāng)時，有如下Rolle定理：Rolle定理若f滿足如下條件：（1）在上連續(xù)；（2）在)內(nèi)可導(dǎo)；（3），則存在，使得。如把曲線弧用參數(shù)方程函數(shù)，則可得出以下中值定理：Cauchy定理若函數(shù)，滿足如下條件：（1）（1）在上連續(xù)；（2）在5-11《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案內(nèi)可導(dǎo)；（3）。在存在（1）在上連續(xù)；（2）在)內(nèi)可導(dǎo)。使得。說明（1）幾何意義：Rolle：在每一點都可導(dǎo)的連續(xù)曲線，如果曲線兩端點高度相同，則至少存在一水平切線（在具有水平弦的可微曲線上有水平曲線）；Lagrang：可微曲線上存在一點，使其切線平行于端點的連線；Cauchy：視為曲線的參

4、數(shù)；u=f(x)，v=g(x)，x[a,b]，則以v為橫坐標(biāo)，u為縱坐標(biāo)可得曲線上有一點，該處切線與曲線端點連線平行。（2）三個定理關(guān)系如下：（3）三個定理中的條件都是充分但非必要。以Rolle定理為例，三個條件缺一不可。1）不可導(dǎo)，不一定存在；2）不連續(xù)，不一定存在；3）f(a)f(b)，不一定存在?！安灰欢ù嬖凇币馕吨话闱闆r如下：Rolle定理不再成立。但仍可知有的情形發(fā)生。如y=sgnx，x[-1,1]不滿足Rolle定理的任何條件，但存在無限多個(-1,1)，使得。（4）Lagrang定理中涉及的公式：稱之為“中值公式”。這個定理也稱為微分基本定理。中值公式有不同形式：（?。ゝ(b)

5、-f(a)=(b-a)，(a,b)；（ⅱ）f(b)-f(a)=，0<<1；（ⅲ）f(a+h)-f(a)=，0<<1.此處，中值公式對ab均成立。此時在a，b之間；（ⅱ）、（ⅲ）的好處在于無論a，b如何變化，易于控制。三中值定理的一些推論1、Rolle定理的推論：若f在[，]上連續(xù)，在(，)內(nèi)可導(dǎo)，，則存在，使得（簡言之：可導(dǎo)函數(shù)的兩個之間必有導(dǎo)數(shù)的零點）。2、Lagrang定理的推論：推論若函數(shù)f在區(qū)間I上可導(dǎo)，且，，則f為I上的一個常量函數(shù)。幾何意義：斜率處處為0的曲線一定是平行于x軸的直線。推論若函數(shù)f和g均在I上可導(dǎo)，且，，則在區(qū)間I上f(x)與g(x)只差一個常數(shù)，即存在常數(shù)

6、C，使得。例：設(shè)f，在連續(xù)可微，在（a,b）二階可微，且，證明：在(a,b)中至少有一個根。例：設(shè)，證明于（0,2）中至少有一根。例：證明：當(dāng)a>b>0時，。5-11《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案例：證明：，?！?.泰勒公式一利用導(dǎo)數(shù)作近似計算1．近似計算前已描述，如果在點可微，則當(dāng)很小時，有，亦即，當(dāng)時有（用導(dǎo)數(shù)作近似計算公式）。注：導(dǎo)數(shù)作近似計算公式常用于：直接計算比較困難，而在點附近一點處的函數(shù)值的導(dǎo)數(shù)卻都比較容易求得。例：求的近似值。例：計算的近似值。把用于具體函數(shù)，可得：，，，。2．誤差估計實際測量或計算所得的數(shù)據(jù)，一般都是近似值。要知道這些數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確程度，就必須估計這些數(shù)據(jù)的近似程

7、度，即估計它與準(zhǔn)確值的差，這就是誤差估計。一般地，如果一個量A的近似值為a，那么=

8、A-a

9、叫作絕對誤差，而/a叫作相對誤差。一般地，對函數(shù)，若是由測量得到的，如果由計算時，有誤差，則有絕對誤差和相對誤差。例：測得一球體的直徑為42cm，測量工具的精度為0.01cm，試求此直徑計算球體積時所起的誤差。二泰勒公式不論在近似計算或理論分析中，我們希望能用一個簡單的函數(shù)來近似一個比較復(fù)雜的函數(shù)，這將會帶