數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中應(yīng)用

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1、數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用（江蘇省泰州市海軍中學(xué)楊金寶225300）數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)研究的重要方法之一，是轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的重要體現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合包括代數(shù)問題幾何解和幾何問題代數(shù)解兩個方面，前者初中階段有解析法和構(gòu)造幾何圖形法，后者包括方程法和函數(shù)法。本文從兩方面探討數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。（一）數(shù)形結(jié)合的簡介中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識分三類：一類是純粹數(shù)的知識，如實數(shù)、代數(shù)式、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等；一類是關(guān)于純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是關(guān)于數(shù)形結(jié)合的知識，主要體現(xiàn)是解析幾何。數(shù)形結(jié)合是一個數(shù)學(xué)思想方法，包含“

2、以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！睌?shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋

3、找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決?！皵?shù)”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。（二）函數(shù)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用1、圖形信息的獲取，建立適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)模型。不少函數(shù)問題以圖形的形式出現(xiàn)，圖形中包含豐富的代數(shù)知識，仔細(xì)觀察圖形、圖像、把握圖形的特點、找出圖形中的信息是解決問題的關(guān)鍵所在。例1：某校部分住校生，放學(xué)后到學(xué)校鍋爐房打水，每人接水2升，他們先同時打開兩個放水籠頭，后來因故障關(guān)閉一個放水籠頭。假設(shè)前后兩人接水間隔時間忽略不計，且不發(fā)生潑灑，鍋爐內(nèi)的余水量y（升）與接水時間x（分）的函數(shù)圖像如圖。

4、請結(jié)合圖像，回答下列問題：（1）根據(jù)圖中信息，請你寫出一個結(jié)論；（2）問前15位同學(xué)接水結(jié)束共需要幾分鐘？（3）小敏說：“今天我們寢室的8位同學(xué)去鍋爐房連續(xù)接完水恰好用了3分鐘?！蹦阏f可能嗎？請說明理由。分析：此類題型為圖像信息問題，所有的信息由圖像反映，圖形是折線，分為兩段，代數(shù)模型為：兩個不同的一次函數(shù)。根據(jù)圖形可得到點的坐標(biāo)（0，96），（2，80），（4，72）。代表的意義為：到2分鐘，鍋爐內(nèi)原有水96升，接水2分鐘后，鍋爐內(nèi)的余水量為80升，接水4分鐘，鍋爐內(nèi)的余水量為72升；2分鐘前的水流量為每分鐘8升等。利用待定系數(shù)

5、法的代數(shù)方法求出函數(shù)解析式，利用代數(shù)的精確性說理解題。解：（1）略（2）當(dāng)0≤x≤2時，y=-8x+96（0≤x≤2），當(dāng)x＞2時，y=-4x+88（x>2）　　∵前15位同學(xué)接完水時余水量為96-15×2=66（升），　　∴66=-4x+88，x=5.5答：前15位同學(xué)接完水需5.5分鐘。（3）若小敏他們是一開始接水的，則接水時間為8×2÷8=2（分），即8位同學(xué)接完水，只需要2分鐘，與接水時間恰好3分鐘不符。若小敏他們是在若干位同學(xué)接完水后開始接水的，設(shè)8位同學(xué)從t分鐘開始接水，當(dāng)0＜t≤2　　則8（2-t）+4[3-（2-t

6、）]=8×2，16-8t+4+4t=16，　∴t=1（分），∴（2-t）+[3-（2-t）]=3（分），符合?！　‘?dāng)t＞2時，則8×2÷4=4（分）即8位同學(xué)接完水，需7分鐘，與接水時間恰好3分鐘不符。所以小敏說法是可能的，即從1分鐘開始8位同學(xué)連續(xù)接完水恰好用了3分鐘。2、構(gòu)造圖形、圖像，建立合理的幾何模型，利用圖像法解決代數(shù)問題。例2：利用圖像解x2－2x–１=0的一種方法是：畫出拋物線y＝x2與直線ｙ＝2x＋１，兩圖像的交點的橫坐標(biāo)就是方程的解。（1）再給出一種利用圖像求方程x2－2x–１=0的解。（2）已知函數(shù)ｙ＝x３的圖

7、像，求x３－x–2＝０的解（保留兩個有效數(shù)）分析：用代數(shù)的方法求一元二次方程的解是機械的方法操作，利用圖形的直觀性，代數(shù)的問題幾何化，學(xué)生在動手畫圖和觀察圖形關(guān)系中經(jīng)歷“觀察、實驗、發(fā)現(xiàn)、猜想、歸納、驗證”的過程，學(xué)生學(xué)習(xí)知識的能力和水平得到提高，數(shù)形結(jié)合的思想得到滲透。yx03、中考數(shù)學(xué)壓軸題中的數(shù)形結(jié)合思想。壓軸題的關(guān)系多，涉及的知識點廣，關(guān)鍵是找到數(shù)與形的契合點，數(shù)形的契合點以等式方程為載體，圖形的相似、全等、勾股定理、解直角三角形等是建立等式、方程的基礎(chǔ)，靈活的采用幾何問題代數(shù)化，代數(shù)問題幾何化的數(shù)形結(jié)合思想，找出契合點。

8、例3：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點,A點的坐標(biāo)為(1,0)，點B在x軸上且在點A的右側(cè),AB=OA,過A、B做x軸的垂線，分別交二次函數(shù)y=x2的圖像于點C、D。直線OC交BD于M，直線CD交y軸于H，記點C、D的橫坐標(biāo)分別為xC、xD，點H的縱