例談幾何型綜合題的解題策略

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1、例談幾何型綜合題的解題策略上海市光明初級中學(xué)彭擁軍幾何型綜合題常以動態(tài)幾何知識為背景，以考察數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想的綜合運用能力為目標(biāo)，所涉及的數(shù)學(xué)思想主要有方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等等。近年來，它常作為中考的壓軸題出現(xiàn)。例題：（2007年上海中考25題）已知：∠MAN＝，點B是射線AM上的一點，AB＝4(如圖).P為直線AN上一動點，以BP為邊作等邊三角形BPQ（點B、P、Q按順時針排列），O是△BPQ的外心.(1)當(dāng)點P在射線AN上運動時，求證：點O在∠MAN的平分線上；(2)當(dāng)點P在射線AN上運動（點P與A不重合

2、）時，AO與BP交于C，設(shè)AP＝x，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；(3)若點D是射線AN上，AD＝2時，⊙I是△ABD的內(nèi)切圓，當(dāng)△BPQ的邊BP或BQ與⊙I相切時，請直接寫出點A到點O的距離.分析：這類試題一般有三個小題，第一小題研究幾何背景，為論證或計算；第二小題研究運動中圖形的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系；第三小題研究圖形不確定性帶來的分類討論。我們一般可以采用化整為零、建立方程、分類討論三個步驟，從復(fù)雜的背景中提取解題所需信息，使問題逐步解決。一、化整為零要證AO平分∠MAN，只要證明O到AM、AN的距離相等

3、，故作OG⊥AM于G，OH⊥AN于H，故∠GOH＝120°。因此只要連結(jié)BO、PO，證∠BOP＝120°，把問題轉(zhuǎn)化為研究等邊三角形外心的性質(zhì)。這樣，一個復(fù)雜的問題經(jīng)過分拆，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的基本問題，從而尋找到解題的途經(jīng)。解：連BO、PO，∵O是等邊△BPQ的外心∴BO=PO，∠BOP＝120°作OG⊥AM于G，OH⊥AN于H，故∠GOH＝120°∴∠BOG＝∠POH可證△BOG≌△POH，∴OG＝OH∴O在∠MAN的平分線上一、建立方程建立幾何圖形間的數(shù)量關(guān)系，特別是動態(tài)幾何圖形間的數(shù)量關(guān)系，是這類試題的考察重點，函數(shù)關(guān)系式

4、的建立實際上是探求兩個變量y與x之間未知函數(shù)類型的函數(shù)問題，如果我們把函數(shù)理解為關(guān)于x、y的二元方程，不管是何種類型函數(shù)，都可以通過尋找y與x之間的等量關(guān)系，建立方程來解決。而建立等量關(guān)系常見的途經(jīng)有：比例線段、勾股定理、等積原理、線段和差等等。本題要建立（）與x（AP）之間的函數(shù)關(guān)系，就是建立y與x之間的方程，所涉及的線段有AC、AO、AP三條，因此常要尋找第四條線段，根據(jù)題意只有AB＝4是已知線段，故可以優(yōu)先考慮，因此只要證△ABO∽△ACP.解：∵∠BAO=∠OBP=30°，∴∠ACP=∠ABC+∠BAC=∠ABC+∠O

5、BC=∠ABO又∠BAO=∠CAP∴△ABO∽△ACP∴故y＝4x（x>0）二、分類討論分類討論是這類試題的重點內(nèi)容之一，不僅考察數(shù)學(xué)知識的把握能力，還考察動態(tài)圖形的認(rèn)知能力，對同學(xué)來說，是難點之一。不過，分類討論也是有規(guī)律可循，比如這類試題所涉及的分類討論知識主要是等腰三角形的底邊不確定、直角三角形的直角不確定、圖形的位置不確定（最常見是直線、射線與線段變化引起的）、相似三角形的對應(yīng)邊不確定等等。在分類討論時首先要注意分類標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，其次要做到不重不漏。本題的第一小題、第二小題考察點P在射線AN上的運動，而第三小題則考察P在直

6、線AN上的運動，由此帶來分類討論。解：AB=4，AD=2，∠MAN＝60°，可得∠BDA=90°1、當(dāng)BP與⊙I相切時，（1）當(dāng)P與D重合時(如圖1)，AO=（2）當(dāng)P與A重合時(如圖2)，AO=2、當(dāng)BQ與⊙I相切時（如圖3），AO=0幾何型綜合題不管試題如何變化，都是以日常學(xué)習(xí)中的基本知識為背景，或讓幾個背景疊加，或讓靜態(tài)的幾何關(guān)系運動起來，在運動中探求圖形不變的位置或數(shù)量關(guān)系。因此，這類問題的解決是以具有扎實的基本功為前提的，因此只要平時注重基本知識、基本圖形的積累與總結(jié)，再合理運用解題策略，就可以達(dá)到事半功倍的效果。附

7、習(xí)題：1．(2002年上海中考)操作：將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經(jīng)過點B，另一邊與射線DC相交于點Q．圖1（備用圖）（備用圖）　　探究：設(shè)A、P兩點間的距離為x．　?。?）當(dāng)點Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你觀察得到結(jié)論；　?。?）當(dāng)點Q在邊CD上時，設(shè)四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；　?。?）當(dāng)點P在線段AC上滑動時，△PCQ是否可能成為等腰三角形？如果

8、可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點Q的位置，并求出相應(yīng)的x的值；如果不可能，試說明理由．　　2、（2005年上海中考）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是邊AC上的一個動點，以點O為圓心作半圓，與邊AB相切于點D，交線段OC于點E，作EP⊥ED，