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《淺談逆矩陣求法》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、吉林師范大學畢業(yè)論文（設計）論文分類號：O151.21密級：無淺談逆矩陣的求法學院、專業(yè)：數(shù)學學院數(shù)學與應用數(shù)學學生姓名：趙殿鈺年級班：2007級3班指導教師：范欽杰(教授)2011年4月15日淺談逆矩陣的求法趙殿鈺(吉林師范大學數(shù)學學院2007級3班吉林四平136000)指導教師：范欽杰（教授）摘要：為了更便捷地解決求矩陣的逆,本文根據(jù)不同矩陣的不同特點簡單介紹了幾種求逆矩陣的方法.定義法、伴隨矩陣法、初等變換法、分塊矩陣法、解方程組法、用克萊姆法則求解、行列式法、恒等變形法、利用Hamiton_Caley定理法、拼接新矩陣等多種方法求逆矩陣,并對部分進行了簡要論證.關鍵字：逆陣法；分塊
2、矩陣；初等變換；伴隨矩陣中圖分類號：O151.21OntheInverseMatrixMethodZhaoDian-yu(Class3Grade2007,DepartmentofMathematics,JilinNormalUniversity,SipingJilin136000)DirectiveTeacher:FanQin-jie(professor)Abstract:Inordertomoreeasilysolvetheinverseofamatrix,thismatrixaccordingtothedifferentcharacteristicsofthedifferentintr
3、oducedseveralsimpleinversematrixmethod.thedefinitionoflaw,withthematrixmethod,elementarytransformation,blockmatrixmethod,solveequationsbytheuseofCramer'sruletosolvethedeterminantmethod,identicaldeformationmethod,theuseofHamiton_CaleyTheorem,splicingandothermethodstofindnewmatrixinverse,andpartofab
4、riefdemonstration.Keywords：theinverseofamatri；blockmatrix；elementarytransformation；withthematrixCLCNO:O151.21121、逆矩陣的概念定義：設A是數(shù)域P上的一個n階方陣，如果存在P上的n階方陣B，使得AB=BA=E，則稱A是可逆的，又稱B為A的逆矩陣.當矩陣A可逆時，逆矩陣由A惟一確定，記為A-1.2、矩陣可逆的條件（1）n階方陣A可逆的充分必要條件是
5、A
6、≠0（也即r（A）=n）；（2）n階方陣A可逆的充分必要條件是A可以通過初等變換（特別是只通過初等行（列）變換）化為n階單位矩陣；（
7、3）n階方陣A可逆的充分必要條件是A可以寫成一些初等矩陣的乘積；（4）n階方陣A可逆的充分必要條件是A的n個特征值不為零；（5）對于n階方陣A，若存在n階方陣B使得AB=E（或BA=E），則A可逆，且A-1=B.3、逆矩陣的性質(zhì)設A，B是n階可逆矩陣，則（1）（A-1）-1=A；（2）若k≠0，則kA可逆，且（kA）-1=A-1；（3）AB可逆，且（AB）-1=B-1A-1；（4）AT可逆，且（AT）-1=（A-1）T；（5）Ak可逆，且（Ak）-1=（A-1）k；（6）
8、A-1
9、=
10、A
11、-1；（7）如果A是m×n矩陣，P是m階可逆矩陣，Q是n階可逆矩陣，則r（A）=r（PA）=r（AQ）
12、=r（PAQ）.4、求矩陣逆的方法方法1定義法：設A是數(shù)域P上的一個n階方陣，如果存在P上的n階方陣B，使得AB=BA=E，則稱A是可逆的，又稱B為A的逆矩陣.當矩陣A可逆時，逆矩陣由A惟一確定，記為A-1.例1：設A為n階矩陣，且滿足，求A-1.【解】12方法2伴隨矩陣法：A-1=A*.定理n階矩陣A=aij為可逆的充分必要條件是A非奇異.且其中Aij是
13、A
14、中元素aij的代數(shù)余子式.矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣，記作A*，于是有A-1=A*.注①對于階數(shù)較低（一般不超過3階）或元素的代數(shù)余子式易于計算的矩陣可用此法求其逆矩陣.注意A*=（Aji）n×n元素的位置及符號.特別對于2階方陣，其
15、伴隨矩陣,即伴隨矩陣具有“主對角元素互換，次對角元素變號”的規(guī)律.②對于分塊矩陣不能按上述規(guī)律求伴隨矩陣.例2：已知，求A-1.【解】∵
16、A
17、=2≠0∴A可逆.由已知得12A-1=A*=方法3初等變換法：注①對于階數(shù)較高（n≥3）的矩陣，采用初等行變換法求逆矩陣一般比用伴隨矩陣法簡便.在用上述方法求逆矩陣時，只允許施行初等行變換.②也可以利用求得A的逆矩陣.③當矩陣A可逆時，可利用求得A-1B和CA-1.這一方法的優(yōu)點是
