定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用——求體積

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1、（北師大版）選修2-2：定積分編寫(xiě)教師：焦旭利4.2定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用(二)復(fù)習(xí)：（1）求曲邊梯形面積的方法是什么？（2）定積分的幾何意義是什么？（3）微積分基本定理是什么？引入：我們前面學(xué)習(xí)了定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用——求面積。求體積問(wèn)題也是定積分的一個(gè)重要應(yīng)用。下面我們介紹一些簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)幾何體體積的求法。1.簡(jiǎn)單幾何體的體積計(jì)算問(wèn)題：設(shè)由連續(xù)曲線和直線，及軸圍成的平面圖形（如圖甲）繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，如何求？分析：在區(qū)間內(nèi)插入個(gè)分點(diǎn)，使，把曲線（）分割成個(gè)垂直于軸的“小長(zhǎng)條”，如圖甲所示。設(shè)第個(gè)“

2、小長(zhǎng)條”的寬是，。這個(gè)“小長(zhǎng)條”繞軸旋轉(zhuǎn)一周就得到一個(gè)厚度是的小圓片，如圖乙所示。當(dāng)很小時(shí)，第個(gè)小圓片近似于底面半徑為的小圓柱。因此，第個(gè)小圓臺(tái)的體積近似為該幾何體的體積等于所有小圓柱的體積和：這個(gè)問(wèn)題就是積分問(wèn)題，則有：5（北師大版）選修2-2：定積分編寫(xiě)教師：焦旭利歸納：設(shè)旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線和直線，及軸圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)而成，則所得到的幾何體的體積為1.利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積（1）找準(zhǔn)被旋轉(zhuǎn)的平面圖形，它的邊界曲線直接決定被積函數(shù)（2）分清端點(diǎn)（3）確定幾何體的構(gòu)造（4）利用定積分進(jìn)行體積計(jì)

3、算2.一個(gè)以軸為中心軸的旋轉(zhuǎn)體的體積若求繞軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的體積，則積分變量變?yōu)?，其公式為類型一：求?jiǎn)單幾何體的體積例1：給定一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)幾何體，求它的體積思路：由旋轉(zhuǎn)體體積的求法知，先建立平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出正方形旋轉(zhuǎn)軸對(duì)邊的方程，確定積分上、下限，確定被積函數(shù)即可求出體積。解：以正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn)，兩邊所在的直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，如圖。則該旋轉(zhuǎn)體即為圓柱的體積為：規(guī)律方法：求旋轉(zhuǎn)體的體積，應(yīng)先建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)旋轉(zhuǎn)曲線函數(shù)為。確定積分上、

4、下限，則體積練習(xí)1：如圖所示，給定直角邊為的等腰直角三角形，繞軸旋轉(zhuǎn)一周，求形成的幾何體的體積。解：形成的幾何體的體積為一圓柱的體積減去一圓錐的體積。5（北師大版）選修2-2：定積分編寫(xiě)教師：焦旭利類型二：求組合型幾何體的體積例2：如圖，求由拋物線與直線及所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積。思路：解答本題可先由解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)。再把組合體分開(kāi)來(lái)求體積。解：解方程組得：與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為所求幾何體的體積為：規(guī)律方法：解決組合體的體積問(wèn)題，關(guān)鍵是對(duì)其構(gòu)造進(jìn)行剖析，分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單幾何體體積的和或差，

5、然后，分別利用定積分求其體積。練習(xí)2：求由直線，直線與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解：旋轉(zhuǎn)體的體積：類型三：有關(guān)體積的綜合問(wèn)題：例3：求由曲線與所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。思路：解題的關(guān)鍵是把所求旋轉(zhuǎn)體體積看作兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體體積之差。畫(huà)出草圖確定被積函數(shù)的邊界確定積分上、下限用定積分表示體積求定積分解：曲線與所圍成的平面圖形如圖所示：設(shè)所求旋轉(zhuǎn)體的體積為5（北師大版）選修2-2：定積分編寫(xiě)教師：焦旭利根據(jù)圖像可以看出等于曲線，直線與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)

6、體的體積（設(shè)為）減去曲線直線與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積（設(shè)為）反思：結(jié)合圖形正確地把求旋轉(zhuǎn)體體積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求定積分問(wèn)題是解決此類問(wèn)題的一般方法。練習(xí)3：求由，以及軸圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解：由得：誤區(qū)警示：忽略了對(duì)變量的討論而致錯(cuò)例：已知曲線，和直線，。試用表示該四條曲線圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積。思路：掌握對(duì)定積分的幾何意義，不要忽視了對(duì)變量的討論。解：由得由示意圖可知：要對(duì)與1的關(guān)系進(jìn)行討論：①當(dāng)時(shí)，5（北師大版）選修2-2：定積分編寫(xiě)教

7、師：焦旭利①當(dāng)時(shí)，所得旋轉(zhuǎn)體的體積為追本溯源：利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積問(wèn)題的關(guān)鍵在于：（1）找準(zhǔn)被旋轉(zhuǎn)的平面圖形，它的邊界曲線直接決定被積函數(shù)（2）分清端點(diǎn)（3）確定幾何體的構(gòu)造（4）利用定積分進(jìn)行體積計(jì)算5