定積分的簡單應用——求體積

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1、（北師大版）選修2-2：定積分編寫教師：焦旭利4.2定積分的簡單應用(二)復習：（1）求曲邊梯形面積的方法是什么？（2）定積分的幾何意義是什么？（3）微積分基本定理是什么？引入：我們前面學習了定積分的簡單應用——求面積。求體積問題也是定積分的一個重要應用。下面我們介紹一些簡單旋轉(zhuǎn)幾何體體積的求法。1.簡單幾何體的體積計算問題：設由連續(xù)曲線和直線，及軸圍成的平面圖形（如圖甲）繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，如何求？分析：在區(qū)間內(nèi)插入個分點，使，把曲線（）分割成個垂直于軸的“小長條”，如圖甲所示。設第個“

2、小長條”的寬是，。這個“小長條”繞軸旋轉(zhuǎn)一周就得到一個厚度是的小圓片，如圖乙所示。當很小時，第個小圓片近似于底面半徑為的小圓柱。因此，第個小圓臺的體積近似為該幾何體的體積等于所有小圓柱的體積和：這個問題就是積分問題，則有：5（北師大版）選修2-2：定積分編寫教師：焦旭利歸納：設旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線和直線，及軸圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)而成，則所得到的幾何體的體積為1.利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積（1）找準被旋轉(zhuǎn)的平面圖形，它的邊界曲線直接決定被積函數(shù)（2）分清端點（3）確定幾何體的構(gòu)造（4）利用定積分進行體積計

3、算2.一個以軸為中心軸的旋轉(zhuǎn)體的體積若求繞軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的體積，則積分變量變?yōu)椋涔綖轭愋鸵唬呵蠛唵螏缀误w的體積例1：給定一個邊長為的正方形，繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，得到一個幾何體，求它的體積思路：由旋轉(zhuǎn)體體積的求法知，先建立平面直角坐標系，寫出正方形旋轉(zhuǎn)軸對邊的方程，確定積分上、下限，確定被積函數(shù)即可求出體積。解：以正方形的一個頂點為原點，兩邊所在的直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，如圖。則該旋轉(zhuǎn)體即為圓柱的體積為：規(guī)律方法：求旋轉(zhuǎn)體的體積，應先建立平面直角坐標系，設旋轉(zhuǎn)曲線函數(shù)為。確定積分上、

4、下限，則體積練習1：如圖所示，給定直角邊為的等腰直角三角形，繞軸旋轉(zhuǎn)一周，求形成的幾何體的體積。解：形成的幾何體的體積為一圓柱的體積減去一圓錐的體積。5（北師大版）選修2-2：定積分編寫教師：焦旭利類型二：求組合型幾何體的體積例2：如圖，求由拋物線與直線及所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積。思路：解答本題可先由解析式求出交點坐標。再把組合體分開來求體積。解：解方程組得：與直線的交點坐標為所求幾何體的體積為：規(guī)律方法：解決組合體的體積問題，關鍵是對其構(gòu)造進行剖析，分解成幾個簡單幾何體體積的和或差，

5、然后，分別利用定積分求其體積。練習2：求由直線，直線與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解：旋轉(zhuǎn)體的體積：類型三：有關體積的綜合問題：例3：求由曲線與所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。思路：解題的關鍵是把所求旋轉(zhuǎn)體體積看作兩個旋轉(zhuǎn)體體積之差。畫出草圖確定被積函數(shù)的邊界確定積分上、下限用定積分表示體積求定積分解：曲線與所圍成的平面圖形如圖所示：設所求旋轉(zhuǎn)體的體積為5（北師大版）選修2-2：定積分編寫教師：焦旭利根據(jù)圖像可以看出等于曲線，直線與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)

6、體的體積（設為）減去曲線直線與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積（設為）反思：結(jié)合圖形正確地把求旋轉(zhuǎn)體體積問題轉(zhuǎn)化為求定積分問題是解決此類問題的一般方法。練習3：求由，以及軸圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解：由得：誤區(qū)警示：忽略了對變量的討論而致錯例：已知曲線，和直線，。試用表示該四條曲線圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積。思路：掌握對定積分的幾何意義，不要忽視了對變量的討論。解：由得由示意圖可知：要對與1的關系進行討論：①當時，5（北師大版）選修2-2：定積分編寫教

7、師：焦旭利①當時，所得旋轉(zhuǎn)體的體積為追本溯源：利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積問題的關鍵在于：（1）找準被旋轉(zhuǎn)的平面圖形，它的邊界曲線直接決定被積函數(shù)（2）分清端點（3）確定幾何體的構(gòu)造（4）利用定積分進行體積計算5