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《初中數(shù)學(xué)全等三角形輔助線(xiàn)技巧》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、例1：如圖，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。思路分析：1）題意分析：本題考查等腰三角形的三線(xiàn)合一定理的應(yīng)用2）解題思路：要求證BD=2CE，可用加倍法，延長(zhǎng)短邊，又因?yàn)橛蠦D平分∠ABC的條件，可以和等腰三角形的三線(xiàn)合一定理結(jié)合起來(lái)。解答過(guò)程：證明：延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。又∠1+∠F
2、=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。解題后的思考：等腰三角形“三線(xiàn)合一”性質(zhì)的逆命題在添加輔助線(xiàn)中的應(yīng)用不但可以提高解題的能力，而且還加強(qiáng)了相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和不同知識(shí)領(lǐng)域的聯(lián)系，為同學(xué)們開(kāi)拓了一個(gè)廣闊的探索空間；并且在添加輔助線(xiàn)的過(guò)程中也蘊(yùn)含著化歸的數(shù)學(xué)思想，它是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。?（2）若遇到三角形的中線(xiàn)，可倍長(zhǎng)中線(xiàn)，使延長(zhǎng)線(xiàn)段與原中線(xiàn)長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋
3、轉(zhuǎn)”。例2：如圖，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，AD又是BC邊上的中線(xiàn)。求證：ΔABC是等腰三角形。?思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線(xiàn)的知識(shí)。2）解題思路：在證明三角形的問(wèn)題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點(diǎn)、中線(xiàn)、中位線(xiàn)等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了AD又是BC邊上的中線(xiàn)這一條件，而且要求證AB=AC，可倍長(zhǎng)AD得全等三角形，從而問(wèn)題得證。解答過(guò)程：??證明：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE。又因?yàn)锳D是BC邊上的中線(xiàn)，∴BD=DC又∠BDE=∠CDAΔBED≌ΔC
4、AD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的平分線(xiàn)∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線(xiàn)，常加倍延長(zhǎng)此線(xiàn)段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。?（3）遇到角平分線(xiàn)，可以自角平分線(xiàn)上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理或逆定理。例3：已知，如圖，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求證：∠B+∠ADC=180°。思路分析：1）題意分析：本題考查角平分線(xiàn)
5、定理的應(yīng)用。2）解題思路：因?yàn)锳C是∠BAD的平分線(xiàn)，所以可過(guò)點(diǎn)C作∠BAD的兩邊的垂線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，通過(guò)證明三角形全等解決問(wèn)題。解答過(guò)程：證明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F?！逜C平分∠BAD，∴CE=CF。在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。解題后的思考：①關(guān)于角平行線(xiàn)的問(wèn)題，常用兩種輔助線(xiàn)；②見(jiàn)中點(diǎn)即聯(lián)想到中位線(xiàn)。?（4）過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，利用
6、的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”例4：如圖，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連EF交BC于D，若EB=CF。??求證：DE=DF。思路分析：1）題意分析：?本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線(xiàn)的知識(shí)：作平行線(xiàn)。2）解題思路：因?yàn)镈E、DF所在的兩個(gè)三角形ΔDEB與ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通過(guò)添加輔助線(xiàn)進(jìn)行相等線(xiàn)段的等量代換：過(guò)E作EG//CF，構(gòu)造中心對(duì)稱(chēng)型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問(wèn)題得以解決。解答過(guò)程：證明：過(guò)E作EG//AC交BC于G， 則
7、∠EGB=∠ACB， 又AB=AC，∴∠B=∠ACB， ∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF， ∴EB=EG=CF， ∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，∴DE=DF。解題后的思考：此題的輔助線(xiàn)還可以有以下幾種作法：例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線(xiàn)的知識(shí)：作平行線(xiàn)。2）解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢(shì)較為復(fù)雜，我們可以通過(guò)
8、轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線(xiàn)段的和即可得證?？蛇^(guò)O作BC的平行線(xiàn)。得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再證出BD=OD就可以了。解答過(guò)程：證明：如圖（1），過(guò)O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，????∴∠ADO=∠AQO，????又∵∠DAO=∠QAO，O
