降落傘選擇問(wèn)題

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1、降落傘的選擇問(wèn)題一，問(wèn)題的提出與重述1.1問(wèn)題提出在物資救援中,空投已經(jīng)成為一種十分重要且便利的方式,由于降落傘難以多次利用,所以如何減少空投的成本,讓人們有更多的資金購(gòu)買(mǎi)救援物資已經(jīng)成為了一個(gè)不可忽視的課題。1.2問(wèn)題重述為向?yàn)?zāi)區(qū)空投救災(zāi)物資共2000kg，需選購(gòu)一些降落傘。已知空投高度過(guò)500m，要求降落傘落地時(shí)的速度不能超過(guò)20m/s。降落傘面為半徑r的半球面，用每根長(zhǎng)共16根繩索連接的載重m位于球心正下方球面處，如下圖：每個(gè)降落傘的價(jià)格由三部分組成。傘面費(fèi)用C1由傘的半徑r決定，；繩索費(fèi)用C2由繩索總長(zhǎng)度及單價(jià)6元/米決定；

2、固定費(fèi)用C3為400元。降落傘在降落過(guò)程中受到的空氣阻力，可以認(rèn)為與降落速度和傘面積的乘積成正比。為了確定阻力系數(shù)，用半徑r=3m、載重m=300kg的降落傘從500m高度作降落試驗(yàn)，測(cè)得各時(shí)刻t的高度。試確定降落傘的選購(gòu)方案，即共需多少個(gè)，每個(gè)傘的半徑多大（在表1中選擇），在滿(mǎn)足空投要求的條件下，使費(fèi)用最低。二，問(wèn)題分析本文主要解決的是在滿(mǎn)足空投要求下的降落傘的選擇問(wèn)題，是典型的優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)對(duì)題目的分析可以進(jìn)一步確定是整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題。本題所建的模型的目標(biāo)函數(shù)比較簡(jiǎn)單，主要是約束條件，而在約束條件中每種降落傘的最大載重質(zhì)量又與空

3、氣阻力系數(shù)是有一定的量化關(guān)系的，因此此模型的關(guān)鍵在于求空氣阻力系數(shù)。三，模型假設(shè)1．降落傘和繩索的質(zhì)量均不計(jì);2．救災(zāi)物資的大小不計(jì),可以看作質(zhì)點(diǎn)處理;1．降落傘下落的初速度為0;2．救災(zāi)物資可以任意分割.四，變量及符號(hào)說(shuō)明第i種降落傘:半徑:,傘面費(fèi)用:;所需繩索長(zhǎng):;繩索費(fèi)用:6;最大載重質(zhì)量:;費(fèi)用:;選用的個(gè)數(shù):.總的費(fèi)用:Z.空氣阻力系數(shù):k.重力加速度:g(取).五，模型建立與求解由載重m位于球心正下方球面處可知：繩索與豎直方向的夾角為45度。每種降落傘的費(fèi)用由三部分組成，所以第i種降落傘的費(fèi)用為：，又每種降落傘選用的個(gè)

4、數(shù)為，目標(biāo)函數(shù)為,(i=1,2,3,4,5).=約束條件為：此問(wèn)題的關(guān)鍵在于求每種降落傘的最大載重質(zhì)量。而最大載重質(zhì)量與空氣阻力系數(shù)k有關(guān)，歸根結(jié)底，想要求得目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解必須先得求出空氣阻力系數(shù)k的值。一．求解空氣阻力系數(shù)k。對(duì)物體做受力分析,物體受重力mg和空氣阻力f，0fmg物體在這兩個(gè)力的作用下以初速度m/s，（1）向下運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律知：，（2）又題中知，降落傘在降落過(guò)程中受到的空氣阻力，可以認(rèn)為與降落速度和傘面積的乘積成正比，所以，（3）又由牛頓第二定律的微分形式得：（4）由（1）（2）（3）（4）得：應(yīng)用MATL

5、AB可求得此微分方程：symsgmkpirv;v=dsolve('Dv=g-2*k*pi*r^2*v/m','v(0)=0','t')結(jié)果：v=1/2*g/k/pi/r^2*m-1/2*exp(-2*k*pi*r^2/m*t)*g/k/pi/r^2*m即。由速度的微分定義知：，所以利用MATLAB可求得symst;z=int(1/2*g/k/pi/r^2*m-1/2*exp(-2*k*pi*r^2/m*t)*g/k/pi/r^2*m);[N,D]=numden(z)N=g*m*(2*k*pi*r^2*t+m*exp(-2*k*pi*

6、r^2/m*t));D=4*k^2*pi^2*r^4;H=N/D所以將m=300,g=9.8,r=3代入得：利用Origin進(jìn)行H與t的非線性擬合，可求得：k=2.945.k求出了可進(jìn)一步通過(guò)分析求得降落傘的最大載重質(zhì)量。當(dāng)降落傘的半徑為r時(shí)，最大載重質(zhì)量為m。由可得v隨著m的增大而增大，由反函數(shù)的性質(zhì)可知若m是v的函數(shù)，則m隨著v的增大而增大。而在此題中最大的落地速度為20。因此v=20所對(duì)應(yīng)的質(zhì)量就是降落傘的最大載重質(zhì)量。因?yàn)関中含有t所以無(wú)法解出m。此時(shí)將v和H聯(lián)立消去t之后，可得：symsgmkpirv;v=dsolve('

7、Dv=g-2*k*pi*r^2*v/m','v(0)=0','t');a=solve('v=1/2*g/k/pi/r^2*m-1/2*exp(-2*k*pi*r^2/m*t)*g/k/pi/r^2*m','t');symst;z=int(1/2*g/k/pi/r^2*m-1/2*exp(-2*k*pi*r^2/m*t)*g/k/pi/r^2*mV);[N,D]=numden(z);N=g*m*(2*k*pi*r^2*t+m*exp(-2*k*pi*r^2/m*t));D=4*k^2*pi^2*r^4;H=N/D;subs替換。。。(

8、H,'t',a)利用MATLAB可解得：將H=500，v=20，k=2.945代入可得solve('500=1/4*9.8*m*(-log(-(2*20*2.945*3.14*r^2-9.8*m)/9.8/m)*m-(2*20*2.9