9、Y=}']=J2xPxY(xy^x為隨機(jī)變量X在{y=W條件下的條件數(shù)學(xué)期望.1.2條件數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)定理1條件期望具有下面的性質(zhì)：(1)E(af+b/jG)=aE^G)+/?￡("
10、G)，其中且假定￡?+/7//
11、G)存在；(2)E[E^
12、G
13、)]=E(^)；(3)如果f為G可測(cè)，則￡?
14、GX;(1)如果《與<7代數(shù)G獨(dú)立,則￡(<
15、G)=貧;(2)如果G,是<7代數(shù)G的子代數(shù)，則E[(E(^
16、G))
17、G1]=￡(^
18、G,)；(3)(J⑼不等式)如果/是/?上的下凸函數(shù)，則f(E^
19、G))=￡(/(^)
20、G)；定理2條件期望的極限定理：(1)單調(diào)收斂定理：若O(a.s，則在｛￡(f
21、G)〉-oo｝上，則
22、G)=lim￡(A
23、G)?n—(2)fhr⑽引理:若fy，似，則在｛E《
24、G)〉-oo｝上，則￡(limsup^n
25、G)=limsup￡
26、(^n
27、G).(3)控制收斂定理：若IS可積，且么->《，似或P，貝ijlim￡(
28、^-^
29、
30、G)=O.1.3條件數(shù)學(xué)期望的求法在現(xiàn)代概率論體系中，條件期望的概念只是一種理論上的工具，在蘇定義中沒(méi)有含算法，所以求條件期望概率往往很難，需要技巧.木文對(duì)兩種不同情形下的條件期望的求法做出討論.方法一：利用問(wèn)題本身所具有的某種對(duì)稱(chēng)性求解.例1設(shè)《^，…人時(shí)獨(dú)立同分布隨機(jī)變量.E^<-,記5=玄么，求k=￡(么
31、S,々=1，2，一，".解易證￡(6
32、幻=￡(4
33、幻，/巧.貝1]￡(5
34、5)=^15)=
35、5,/=1,2,...,zz即SE(^k
36、S)=—，“.5，眾=l，2，".，nn方法二：利用線性變換將隨機(jī)變量分解為關(guān)于作為條件的CT域可測(cè)或獨(dú)立的隨機(jī)變量之和，利用條件期望的性質(zhì)求和.n例2設(shè)有正態(tài)樣本％,，…，yv(o,<72),統(tǒng)計(jì)量r=，求e(jva2it).解令S=Yx2k,則E(X2kT)=-E(ST).作正交變換:k=、n%)y2???=cA⑩⑩?A;其中C為正交陣，第一行為(則有ey=o,cov(x,y)=cct=in,即r與玄｝；2獨(dú)立，｝；k=2/V(0，(72)，々二2,
37、…，《，從nnl^S=±X2k=±Yk2k=炎=1T*2_n=—+Yr,2,r2關(guān)于cr(r)可測(cè)打k=2所以E(XlT)=-E(ST)n由以上例題可以看出，條件期望的求法是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，我們必須從問(wèn)題本身出發(fā)化簡(jiǎn)，將其轉(zhuǎn)化為可測(cè)或獨(dú)立于CT代數(shù)的隨機(jī)變量，然后運(yùn)用條件期望的性質(zhì)求解.1.4全期望公式設(shè)事件B為，…，Bn是一完備事件組，即B、，B2，…，Bn互不相交，nP(B,)>O,1
