考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)講義（基礎(chǔ)班）

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1、新東方在線[www.koolearn.com]2010考研數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列高等數(shù)學(xué)2010考研基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)主講：汪誠義歡迎使用新東方在線電子教材考研基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)講義目錄：第一章函數(shù)、極限、連續(xù)第二章一元函數(shù)微分學(xué)第三章一元函數(shù)積分學(xué)第四章常微分方程第五章多元函數(shù)微分學(xué)第六章二重積分第一章　函數(shù)、極限、連續(xù)§1.1　　函數(shù)（甲）內(nèi)容要點(diǎn)一、函數(shù)的概念新東方在線[www.koolearn.com]2010考研數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列高等數(shù)學(xué)1.函數(shù)的定義設(shè)D是一個非空的實數(shù)集，如果有一個對應(yīng)規(guī)劃f，對每一個，都能對應(yīng)惟一的一個實數(shù)y，則這個對應(yīng)規(guī)劃f稱為定義在D上的一個函數(shù)，記以y

2、=f(x)，稱x為函數(shù)的自變量，y為函數(shù)的因變量或函數(shù)值，D稱為函數(shù)的定義域，并把實數(shù)集稱為函數(shù)的值域。2.分段函數(shù)如果自變量在定義域內(nèi)不同的值，函數(shù)不能用同一個表達(dá)式表示，而要用兩上或兩個以上的表達(dá)式來表示。這類函數(shù)稱為分段函數(shù)。例如是一個分段函數(shù)，它有兩個分段點(diǎn)，x＝－1和x＝1，它們兩側(cè)的函數(shù)表達(dá)式不同，因此討論函數(shù)y=f(x)在分段點(diǎn)處的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等問題時，必須分別先討論左、右極限，左、右連續(xù)性和左、右導(dǎo)數(shù)。需要強(qiáng)調(diào)：分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)，不能用初等函數(shù)在定義域內(nèi)皆連續(xù)這個定理。3.隱函數(shù)形如y=f(x)有函數(shù)稱為顯函數(shù)，由方程F（x，y）=0確定的y＝y(tǒng)(x)稱為隱函數(shù)

3、，有些隱函數(shù)可以化為顯函數(shù)（不一定是一個單值函數(shù)），而有些隱函數(shù)則不能化為顯函數(shù)。新東方在線[www.koolearn.com]2010考研數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列高等數(shù)學(xué)4.反函數(shù)如果y=f(x)可以解出是一個函數(shù)（單值），則稱它為f(x)的反函數(shù)，記以。有時也用表示。二、基本初等函數(shù)1.常值函數(shù)　　y＝C（常數(shù)）2.冪函數(shù)　?。é脸?shù)）3.指數(shù)函數(shù)　　（a＞0，a≠1常數(shù)）（e＝2.7182…，無理數(shù)）4.對數(shù)函數(shù)　?。╝＞0，a≠1常數(shù)）常用對數(shù)　　自然對數(shù)　　5.三角函數(shù)　　6.反三角函數(shù)　　基本初等函數(shù)的概念、性質(zhì)及其圖像非常重要，影響深遠(yuǎn)。例如以后經(jīng)常會用；；；；等等，就需要對

4、，，的圖像很清晰。三、復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù)設(shè)　　　定義域U　　　定義域X，值域U*新東方在線[www.koolearn.com]2010考研數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列高等數(shù)學(xué)如果，則是定義在X上的一個復(fù)合函數(shù)，其中u稱為中間變量。2.初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的用一個分析表達(dá)式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。四、函數(shù)的幾種性質(zhì)1.有界性：設(shè)函數(shù)y=f(x)在X內(nèi)有定義，若存在正數(shù)M，使都有，則稱f(x)在X上是有界的。2.　奇偶性：設(shè)區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對稱，若對，都有，則稱在上是奇函數(shù)；若對，都有，則稱在上是偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱；偶函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱。3.　

5、單調(diào)性：設(shè)在上有定義，若對任意都有，則稱在上是單調(diào)增加的；若對任意都有，則稱在上是單調(diào)不減。的話，f（x）是單調(diào)增加的；的話，f（x）是單調(diào)減少的。（注意：有些書上把這里單調(diào)增加稱為嚴(yán)格單調(diào)增加；把這里單調(diào)不減稱為單調(diào)增加。）4.　周期性：設(shè)在上有定義，如果存在常數(shù)新東方在線[www.koolearn.com]2010考研數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列高等數(shù)學(xué)，使得任意，，都有，則稱是周期函數(shù)，稱為的周期。由此可見，周期函數(shù)有無窮多個周期，一般我們把其中的最小正周期稱為周期。例子：這個函數(shù)一定是周期函數(shù)。這個函數(shù)一定是周期函數(shù)。（乙）典型例題一、求函數(shù)的定義域【例1】求函數(shù)的定義域。解要有定義，

6、，要有定義，，因此，的定義域為【例2】求的定義域。解要有定義，和要有定義，，因此，定義域為【例3】設(shè)的定義域為，求的定義域。解要求，則，新東方在線[www.koolearn.com]2010考研數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列高等數(shù)學(xué)當(dāng)時，，，則當(dāng)時，，也即或【例4】設(shè)求的定義域，并求.解的定義域為，要求，則；要求，則，于是的定義域為。又二、求函數(shù)的值域【例1】求的值域。解我們先求出反函數(shù)，它的定義域就是原來函數(shù)的值域。它的定義域，且所以原來函數(shù)的值域為。三、求復(fù)合函數(shù)有關(guān)表達(dá)式1.已知f(x)和g(x)，求f［g(x)］.【例1】　已知，求.解，?。ǎ┬聳|方在線[www.koolearn.com

7、]2010考研數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列高等數(shù)學(xué)于是，?。ǎ纠?】　設(shè)，求.n重復(fù)合解，若，則根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知，對正整數(shù)n，2.已知g(x)和f[g(x)]，求f(x).【例1】設(shè)，求f(x).解　令，于是【例2】　已知，且，求f(x).解　令，因此，∵，∴四、有關(guān)四種性質(zhì)【例1】　設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（　?。?（A）若f(x)為奇函數(shù)，則F(x)為偶函數(shù)新東方在線[www.koolearn.com]2010考研數(shù)學(xué)