數(shù)學(xué)建?！鎯?chǔ)模型

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1、存儲(chǔ)模型摘要本文建立的是在產(chǎn)品需求穩(wěn)定不變，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)和產(chǎn)品貯存費(fèi)為常數(shù)、生產(chǎn)能力無(wú)限的條件下的存貯模型。在不允許缺貨和允許缺貨的這兩種情況下，為了簡(jiǎn)化模型的建立，我們采用了連續(xù)的變量來(lái)更加合理地來(lái)描述問(wèn)題。模型的求解是一個(gè)以每天的平均費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)來(lái)求解的優(yōu)化模型。本文主要是通過(guò)數(shù)學(xué)中的微積分知識(shí)，借助Matlab程序?qū)崿F(xiàn)，來(lái)求目標(biāo)函數(shù)的極值問(wèn)題，從而求得總費(fèi)用最小的方案。首先，在模型一中我們提出了不允許缺貨的優(yōu)化模型，即綜合考慮在產(chǎn)品需求穩(wěn)定不變、生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)和產(chǎn)品貯存費(fèi)為常數(shù)、生產(chǎn)能力無(wú)限、不允許缺貨以及確定生產(chǎn)周期和產(chǎn)量的情況下，使總費(fèi)用最小的模型。這個(gè)

2、模型中，通過(guò)對(duì)得到的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行分析求解，可以得出經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式（EQQ公式），驗(yàn)證了模型一的準(zhǔn)確性。其次，模型二中考慮當(dāng)缺貨的損失費(fèi)不超過(guò)不允許缺貨導(dǎo)致的準(zhǔn)備費(fèi)和貯存費(fèi)時(shí)，提出了允許缺貨的貯存模型。根據(jù)貯存量函數(shù)和周期之間的關(guān)系，得到適用于模型二的目標(biāo)函數(shù)。此外，在模型二的求解中，當(dāng)函數(shù)中的變量都各自趨于某一定值時(shí)，可以近似認(rèn)為不允許缺貨模型是缺貨模型的特例。總而言之，本文中的存貯模型是在總費(fèi)用中增加購(gòu)買(mǎi)貨物本身的費(fèi)用時(shí)，重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量的優(yōu)化模型，并且證明了在不允許缺貨模型和允許缺貨模型中結(jié)果都與原來(lái)的一樣，充分考慮了模型的優(yōu)化。關(guān)鍵詞：不允

3、許缺貨；允許缺貨；訂貨周期；訂貨批量；matlab程序8一、問(wèn)題重述在我們的周邊有一家配件廠，據(jù)我們得知，該廠為裝配線(xiàn)生產(chǎn)若干種部件時(shí)因更換要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)（與生產(chǎn)數(shù)量無(wú)關(guān)），同一部件的產(chǎn)量大于需求時(shí)因積壓資金、占用倉(cāng)庫(kù)要付貯存費(fèi)?，F(xiàn)已知某一部件的日需求量為100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元。如果生產(chǎn)能力遠(yuǎn)大于需求，試求在以下兩種情況下來(lái)安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（稱(chēng)為生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，可使總費(fèi)用最小。（1）不允許出現(xiàn)缺貨（2）允許出現(xiàn)缺貨二、問(wèn)題分析在第（1）問(wèn)時(shí)，我們不如先來(lái)試算一下以下幾種情況的結(jié)果：若每天生產(chǎn)一次，每次1

4、00件，則我們可知，此時(shí)無(wú)貯存費(fèi)，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，每天費(fèi)用為5000元；若10天生產(chǎn)一次，每次1000件，則我們可知，此時(shí)貯存費(fèi)為900+800+…+100=4500元，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)9500元，平均每天費(fèi)用為950元；若50天生產(chǎn)一次，每次5000件，則我們可知，此時(shí)貯存費(fèi)為4900+4800+…+100=122500元，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)127500元，平均每天費(fèi)用為2550元；從以上的計(jì)算看，生產(chǎn)周期短、產(chǎn)量少，會(huì)使貯存費(fèi)小，準(zhǔn)備費(fèi)大；而周期長(zhǎng)、產(chǎn)量多，會(huì)使貯存費(fèi)大，準(zhǔn)備費(fèi)小。所以必然存在一個(gè)最佳的周期，使總費(fèi)用最小。我們可知，這

5、應(yīng)該算是一個(gè)優(yōu)化模型我們應(yīng)先建立一個(gè)不允許缺貨的存貯模型，即在產(chǎn)品需求穩(wěn)定不變，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)和產(chǎn)品貯存費(fèi)為常數(shù)、生產(chǎn)能力無(wú)限、不允許缺貨下的確定生產(chǎn)周期和常量，使總費(fèi)用最小的模型。而在第（2）問(wèn)中，需改進(jìn)一下第一問(wèn)的條件，在短時(shí)間可以缺貨的情況下，雖然這會(huì)造成一定的損失，但如果損失費(fèi)不超過(guò)不允許缺貨導(dǎo)致的準(zhǔn)備費(fèi)和貯存費(fèi)的話(huà)，我們可優(yōu)化一下第一個(gè)模型，建立一個(gè)更全面的模型。8三、模型假設(shè)為了處理的方便，考慮連續(xù)模型，即設(shè)生產(chǎn)周期T和產(chǎn)量Q均為連續(xù)量。根據(jù)問(wèn)題性質(zhì)，我們作如下假設(shè)：1.產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r；2.每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為c1，每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為c2；3.生

6、產(chǎn)能力為無(wú)限大（相對(duì)于需求量），當(dāng)貯存量降到零時(shí)，Q件產(chǎn)品立即生產(chǎn)出來(lái)供給需求；4.在第（1）問(wèn)中，不允許缺貨；5.在第（2）問(wèn)中，允許缺貨，每天每件產(chǎn)品缺貨損失費(fèi)為c3，但缺貨數(shù)量需在下次生產(chǎn)（或訂貨）事補(bǔ)足。四、符號(hào)說(shuō)明符號(hào)意義r產(chǎn)品每天的需求量c1每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)c2每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)q(t)相應(yīng)時(shí)間t下的貯存量Q每次的產(chǎn)量T生產(chǎn)周期C每天平均最小費(fèi)用8五、模型的建立與求解5.1模型一的建立：不允許缺貨的存貯模型先考察這樣的問(wèn)題,配件廠為裝配線(xiàn)生產(chǎn)若干部件,輪換生產(chǎn)不同的部件時(shí)因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)(與生產(chǎn)數(shù)量無(wú)關(guān))同一部件的產(chǎn)量大與需求時(shí)因積壓資金、占用

7、倉(cāng)庫(kù)要付貯存費(fèi).將貯存量表示為時(shí)間的函數(shù)，生產(chǎn)件，貯存量，以需求率遞減，直到，如圖1示，顯然有.(1)qQrAOTt圖1不允許缺貨模型的貯存量一個(gè)周期內(nèi)的貯存費(fèi)，其中積分恰等于圖中三角形A的面積.因?yàn)橐粋€(gè)周期的準(zhǔn)備費(fèi)是,再注意到(1)式,得到一周期的總費(fèi)用為,(2)于是每天的平均費(fèi)用是8.(3)(3)式即為這個(gè)優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù).5.2模型一的求解：求使(3)最小.容易得到,(4)代入(1)式得到.(5)由(3)式算出最小的總費(fèi)用為.(6)(4),(5)式是經(jīng)濟(jì)學(xué)中著名的經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式(EOQ公式).由(4),(5)式可以看到,當(dāng)準(zhǔn)備費(fèi)增加時(shí),生產(chǎn)周期和產(chǎn)量都

8、變大;當(dāng)準(zhǔn)備費(fèi)增加時(shí),生