傅里葉變換(fft)詳解

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1、WORD格式可編輯一、傅立葉變換的由來關(guān)于傅立葉變換，無論是書本還是在網(wǎng)上可以很容易找到關(guān)于傅立葉變換的描述，但是大都是些故弄玄虛的文章，太過抽象，盡是一些讓人看了就望而生畏的公式的羅列，讓人很難能夠從感性上得到理解，最近，我偶爾從網(wǎng)上看到一個(gè)關(guān)于數(shù)字信號(hào)處理的電子書籍，是一個(gè)叫StevenW.Smith,Ph.D.外國人寫的，寫得非常淺顯，里面有七章由淺入深地專門講述關(guān)于離散信號(hào)的傅立葉變換，雖然是英文文檔，我還是硬著頭皮看完了有關(guān)傅立葉變換的有關(guān)內(nèi)容，看了有茅塞頓開的感覺，在此把我從中得到的理解拿出來跟大家分享，希望很多被傅立葉變換迷惑的朋友能

2、夠得到一點(diǎn)啟發(fā)，這電子書籍是免費(fèi)的，有興趣的朋友也可以從網(wǎng)上下載下來看一下，URL地址是：http://www.dspguide.com/pdfbook.htm??要理解傅立葉變換，確實(shí)需要一定的耐心，別一下子想著傅立葉變換是怎么變換的，當(dāng)然，也需要一定的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，最基本的是級(jí)數(shù)變換，其中傅立葉級(jí)數(shù)變換是傅立葉變換的基礎(chǔ)公式。二、傅立葉變換的提出讓我們先看看為什么會(huì)有傅立葉變換？傅立葉是一位法國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的名字，英語原名是JeanBaptisteJosephFourier(1768-1830),Fourier對(duì)熱傳遞很感興趣，于1807年

3、在法國科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表了一篇論文，運(yùn)用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個(gè)在當(dāng)時(shí)具有爭(zhēng)議性的決斷：任何連續(xù)周期信號(hào)可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。當(dāng)時(shí)審查這個(gè)論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日(JosephLouisLagrange,1736-1813)和拉普拉斯(PierreSimondeLaplace,1749-1827)，當(dāng)拉普拉斯和其它審查者投票通過并要發(fā)表這個(gè)論文時(shí)，拉格朗日?qǐng)?jiān)決反對(duì)，在近50年的時(shí)間里，拉格朗日?qǐng)?jiān)持認(rèn)為傅立葉的方法無法表示帶有棱角的信號(hào)，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。法國科學(xué)學(xué)會(huì)屈服于拉格朗日的威望，拒絕了傅

4、立葉的工作，幸運(yùn)的是，傅立葉還有其它事情可忙，他參加了政治運(yùn)動(dòng)，隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，法國大革命后因會(huì)被推上斷頭臺(tái)而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年這個(gè)論文才被發(fā)表出來。誰是對(duì)的呢？拉格朗日是對(duì)的：正弦曲線無法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅立葉是對(duì)的。為什么我們要用正弦曲線來代替原來的曲線呢？如我們也還可以用方波或三角波來代替呀，分解信號(hào)的方法是無窮的，但分解信號(hào)的目的是為了更加簡(jiǎn)單地處理原來的信號(hào)。用正余弦來表示原信號(hào)會(huì)更加簡(jiǎn)單，因?yàn)檎嘞覔碛性盘?hào)所不具有的性質(zhì)：

5、正弦曲線保真度。一個(gè)正弦曲線信號(hào)輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。專業(yè)技術(shù)資料分享WORD格式可編輯三、傅立葉變換分類根據(jù)原信號(hào)的不同類型，我們可以把傅立葉變換分為四種類別：1非周期性連續(xù)信號(hào)傅立葉變換（FourierTransform）2周期性連續(xù)信號(hào)傅立葉級(jí)數(shù)(FourierSeries)3非周期性離散信號(hào)離散時(shí)域傅立葉變換（DiscreteTimeFourierTransform）4周期性離散信號(hào)離散傅立葉變換(Discr

6、eteFourierTransform)下圖是四種原信號(hào)圖例：?專業(yè)技術(shù)資料分享WORD格式可編輯這四種傅立葉變換都是針對(duì)正無窮大和負(fù)無窮大的信號(hào)，即信號(hào)的的長(zhǎng)度是無窮大的，我們知道這對(duì)于計(jì)算機(jī)處理來說是不可能的，那么有沒有針對(duì)長(zhǎng)度有限的傅立葉變換呢？沒有。因?yàn)檎嘞也ū欢x成從負(fù)無窮小到正無窮大，我們無法把一個(gè)長(zhǎng)度無限的信號(hào)組合成長(zhǎng)度有限的信號(hào)。面對(duì)這種困難，方法是把長(zhǎng)度有限的信號(hào)表示成長(zhǎng)度無限的信號(hào)，可以把信號(hào)無限地從左右進(jìn)行延伸，延伸的部分用零來表示，這樣，這個(gè)信號(hào)就可以被看成是非周期性離解信號(hào)，我們就可以用到離散時(shí)域傅立葉變換的方法。還有，

7、也可以把信號(hào)用復(fù)制的方法進(jìn)行延伸，這樣信號(hào)就變成了周期性離解信號(hào)，這時(shí)我們就可以用離散傅立葉變換方法進(jìn)行變換。這里我們要學(xué)的是離散信號(hào)，對(duì)于連續(xù)信號(hào)我們不作討論，因?yàn)橛?jì)算機(jī)只能處理離散的數(shù)值信號(hào)，我們的最終目的是運(yùn)用計(jì)算機(jī)來處理信號(hào)的。但是對(duì)于非周期性的信號(hào)，我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來表示，這對(duì)于計(jì)算機(jī)來說是不可能實(shí)現(xiàn)的。所以對(duì)于離散信號(hào)的變換只有離散傅立葉變換（DFT）才能被適用，對(duì)于計(jì)算機(jī)來說只有離散的和有限長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)才能被處理，對(duì)于其它的變換類型只有在數(shù)學(xué)演算中才能用到，在計(jì)算機(jī)面前我們只能用DFT方法，后面我們要理解的也正是DFT

8、方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號(hào)目的是為了能夠用數(shù)學(xué)方法來解決問題，至于考慮周期性信號(hào)是從哪里得到或怎樣得到是無意