求函數(shù)值域方法及習題

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1、求函數(shù)值域的方法（1）直接法：從自變量x的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍；一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域為R，值域為R；反比例函數(shù)的定義域為{x

2、x0}，值域為{y

3、y0}；二次函數(shù)的定義域為R，當a>0時，值域為{}；當a<0時，值域為{}（2）配方法：如果y=f(x)是二次函數(shù)或是可以化為二次函數(shù)的函數(shù)，則可以用配方法求值域.【例1】求下列函數(shù)的值域：（1）y=x2-4x+5；（2）y=x2-4x+5，x∈[1,4]；(3)y=x2+2x+4,x∈[0,+∞（4）y=-x4+2x2+3；（5）y=；(6)y=

4、4x+2x+1（7）y=；（8）y=sin2x-sinx+（3）基本不等式法：利用平均不等式求值域轉(zhuǎn)化成型如：，用公式來求值域；【例2】求下列函數(shù)的值域：（1）y=,（x>0）；（2）y=4,（x≠0）；（3）y=,（0＜x≤2；（4）y=x(6-x)；（5）y=,（4）不等式性質(zhì)法【例3】求下列函數(shù)的值域：（1）y=；（2）y=；（3）y=（4）y=10-；（2）y=；（3）y=（5）逆求法（反求法）：通過反解，用來表示，再由的取值范圍，通過解不等式，得出的取值范圍；常用來解，型如：或?qū)⑶蠛瘮?shù)的值域轉(zhuǎn)化為求它的反函數(shù)的值域

5、.【例4】求下列函數(shù)的值域：（1）y=；（2）y=；（3）y=；（法一）反函數(shù)法：（法二）分離變量法：（6）函數(shù)單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域.【例5】求下列函數(shù)的值域：（1）y=x3+arcsinx；（2）y=(正常數(shù)a≠1,x≥1)；（3）y=；（4）y=（7）換元法（代數(shù)換元法）：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；【例6】（1）；（2）【解】（1）設(shè)，則，∴原函數(shù)可化為，∴，∴原函數(shù)值域為．說明：總結(jié)型值域，變形：或（2）三角換元法：∵，∴設(shè)，則∵，∴，∴，∴，∴原函數(shù)的值域為．（8）幾何

6、法：由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化斜率、距離等求值域；圖像法：當一個函數(shù)圖象可作時，通過圖象可求其值域【例7】（1）已知，求函數(shù)u=3x+4y的值域；（2）（3）對于圓x2+(y-1)2=1上任一點P（x，y），不等式x+y+m≥0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（4）求函數(shù)的值域.解：（2）問題轉(zhuǎn)化為直線y=kx與圓(x-2)2+y2=1有公共點時，斜率的取值范圍問題?，F(xiàn)在只要求出k的最大和最小值即可。（3），（4）數(shù)形結(jié)合法：，∴，∴函數(shù)值域為．（9）最值法：【例7】求下列函數(shù)的值域：拓展【例1】求函數(shù)f(x)=的值域：【例2】求函數(shù)f(

7、x)=的值域是[-1，9]，求實數(shù)a、b值.Ⅲ.小結(jié)1．熟練掌握求函數(shù)值域的幾種方法，并能靈活選用；2．求值域時要務(wù)必注意定義域的制約；3．含字母參數(shù)或參數(shù)區(qū)間的一類值域問題要進行合理分類討論；4．用不等式求值域時要注意“=”的成立條件。5．對于二次函數(shù),⑴若定義域為R時，①當a>0時，則當時，其最小值；②當a<0時，則當時，其最大值⑵若定義域為x[a,b],則應(yīng)首先判定其頂點橫坐標x0是否屬于區(qū)間[a,b]①若[a,b],則是函數(shù)的最小值（a>0）時或最大值（a<0）時，再比較的大小決定函數(shù)的最大（小）值②若[a,b],則

8、[a,b]是在的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，只需比較的大小即可決定函數(shù)的最大（?。┲?3)若給定區(qū)間不是閉區(qū)間，則可能得不到最大（小）值；(4)當頂點橫坐標是字母時，則應(yīng)根據(jù)其對應(yīng)區(qū)間特別是區(qū)間兩端點的位置關(guān)系進行討論Ⅳ.鞏固練習夯實基礎(chǔ)【題組一】1．函數(shù)y=的值域是；3．函數(shù)y=的值域是；4．函數(shù)y=+1的值域是；5．函數(shù)y=的值域是；6．函數(shù)y=的值域是7．已知：點P（x，y）是圓x2+y2=9上的動點。求x+y的最大值。8．函數(shù)的值域是9．函數(shù)的值域為．10若函數(shù)在上的最大值與最小值之差為2，則．11．求函數(shù)y=

9、x+1

10、+

11、x-2

12、

13、的值域（11.解法1：將函數(shù)化為分段函數(shù)形式：，畫出它的圖象，由圖象可知，函數(shù)的值域是{y

14、y3}解法2：（幾何法或圖象法）∵函數(shù)y=

15、x+1

16、+

17、x-2

18、表示數(shù)軸上的動點x到兩定點-1，2的距離之和，∴易見y的最小值是3，∴函數(shù)的值域是[3，+]如圖）12．求函數(shù)的值域解：(換元法)設(shè)則t0x=1-代入得∵t0∴y413．某賓館有相同標準的床位100張根據(jù)經(jīng)驗，當該賓館每張床的床價不超過10元時，床位可以全部租出；當床價高于10元時，每提高一元，將有3張床位空閑為了獲得較好的效益，該賓館要給床位定一個合適的價格，條件是①為

19、方便結(jié)算，床位應(yīng)為1元的整數(shù)倍；②該賓館每日的費用支出為575元，床位出租收入必須高于支出，而且高出得越多越好，若用x表示床價，用y表示該賓館一天出租床位的凈收入（即除去每日的支出費用后的收入），(1)把y表示為x的函數(shù)，并求出定義域；(2)試確定該賓館床價定為多少時，既符合上述條件，又能