勾股定理典型例題【含答案解析】免費(fèi)

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1、勾股定理復(fù)習(xí)一、知識(shí)要點(diǎn)：1、勾股定理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。也就是說：如果直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2。公式的變形：a2=c2-b2，b2=c2-a2。勾股定理在西方叫畢達(dá)哥拉斯定理，也叫百牛定理。它是直角三角形的一條重要性質(zhì)，揭示的是三邊之間的數(shù)量關(guān)系。它的主要作用是已知直角三角形的兩邊求第三邊。勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，它是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三邊長分別是a，b，c，且滿

2、足a2+b2=c2，那么三角形ABC是直角三角形。這個(gè)定理叫做勾股定理的逆定理.該定理在應(yīng)用時(shí)，同學(xué)們要注意處理好如下幾個(gè)要點(diǎn)：①已知的條件：某三角形的三條邊的長度.②滿足的條件：最大邊的平方=最小邊的平方+中間邊的平方.③得到的結(jié)論：這個(gè)三角形是直角三角形，并且最大邊的對角是直角.④如果不滿足條件，就說明這個(gè)三角形不是直角三角形。3、勾股數(shù)滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。注意：①勾股數(shù)必須是正整數(shù)，不能是分?jǐn)?shù)或小數(shù)。②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的正整數(shù)倍后，仍是勾股數(shù)。4、最短距離問題：主要運(yùn)用的依據(jù)是兩點(diǎn)之間線

3、段最短。二、知識(shí)結(jié)構(gòu)：直角三角形勾股定理應(yīng)用判定直角三角形的一種方法三、考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一：利用勾股定理求面積求：（1）陰影部分是正方形；（2）陰影部分是長方形；（3）陰影部分是半圓．2.如圖，以Rt△ABC的三邊為直徑分別向外作三個(gè)半圓，試探索三個(gè)半圓的面積之間的關(guān)系．考點(diǎn)二：在直角三角形中，已知兩邊求第三邊例如圖2，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC邊上的高，AD＝8，則邊BC的長為（???）A．21??????B．15??????C．6???????D．以上答案都不對【強(qiáng)化訓(xùn)練】：1．在直角三角形中,若兩直角

4、邊的長分別為1cm，2cm，則斜邊長為．2．（易錯(cuò)題、注意分類的思想）已知直角三角形的兩邊長為3、2，則另一條邊長的平方是3、已知直角三角形兩直角邊長分別為5和12，求斜邊上的高．（結(jié)論：直角三角形的兩條直角邊的積等于斜邊與其高的積，ab=ch）考點(diǎn)三：應(yīng)用勾股定理在等腰三角形中求底邊上的高例、如圖1所示，等腰中，，是底邊上的高，若，求①AD的長；②ΔABC的面積．?考點(diǎn)四:應(yīng)用勾股定理解決樓梯上鋪地毯問題例、某樓梯的側(cè)面視圖如圖3所示，其中米，，，因某種活動(dòng)要求鋪設(shè)紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長度應(yīng)為??????

5、?．分析：如何利用所學(xué)知識(shí)，把折線問題轉(zhuǎn)化成直線問題，是問題解決的關(guān)鍵。仔細(xì)觀察圖形，不難發(fā)現(xiàn)，所有臺(tái)階的高度之和恰好是直角三角形ABC的直角邊BC的長度，所有臺(tái)階的寬度之和恰好是直角三角形ABC的直角邊AC的長度，只需利用勾股定理，求得這兩條線段的長即可?？键c(diǎn)五、利用列方程求線段的長（方程思想）１、小強(qiáng)想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能幫他算出來嗎？ABC【強(qiáng)化訓(xùn)練】：折疊矩形ABCD的一邊AD,點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處,已知AB=8CM,B

6、C=10CM,求CF和EC。.ABCEFD考點(diǎn)六：應(yīng)用勾股定理解決勾股樹問題例、如右圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為5，則正方形A，B，C，D的面積的和為?分析：勾股樹問題中，處理好兩個(gè)方面的問題，一個(gè)是正方形的邊長與面積的關(guān)系，另一個(gè)是正方形的面積與直角三角形直角邊與斜邊的關(guān)系。點(diǎn)評(píng)：請同學(xué)們自己把其內(nèi)在的一般變化規(guī)律總結(jié)一下?？键c(diǎn)七：應(yīng)用勾股定理解決數(shù)學(xué)風(fēng)車問題例7、(09年安順)圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的。在

7、Rt△ABC中，若直角邊AC＝6，BC＝5，將四個(gè)直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長（圖乙中的實(shí)線）是______________。分析：因?yàn)椋苯沁匒C＝6，BC＝5，當(dāng)將四個(gè)直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍后，得到四個(gè)直角邊分別是12和5的直角三角形，所求的最長實(shí)邊恰好是這些直角三角形的斜邊長，因此，斜邊長為：=13，較短的實(shí)邊長是6，所以，這個(gè)風(fēng)車的外圍周長為：4×13+4×6=76。解：這個(gè)風(fēng)車的外圍周長為76?？键c(diǎn)八：判別一個(gè)三角形是否是直

8、角三角形例1：分別以下列四組數(shù)為一個(gè)三角形的邊長：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能夠成直角三角形的有【強(qiáng)化訓(xùn)練】：已知△ABC中，三條邊長分別為a＝n－１，b＝2n，c＝n＋１（n＞1）．試判斷該三角形是否是直角三角形，若是，請指出哪一條邊所對的角是直角．考點(diǎn)九：其他圖