麥克斯韋方程組、電磁場(chǎng)的邊界條

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1、2.6麥克斯韋方程組2.7電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系1、了解麥克斯韋方程組的建立過(guò)程，掌握它的基本性質(zhì)；2、了解邊界上場(chǎng)不連續(xù)的原因，能導(dǎo)出電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系；3、掌握電磁場(chǎng)方程微分形式和邊界形式的聯(lián)系與區(qū)別。重點(diǎn)：1)麥克斯韋方程組的基本性質(zhì);2)電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系難點(diǎn)：電磁場(chǎng)切向邊值關(guān)系的推導(dǎo)講授法、討論2學(xué)時(shí)2.6麥克斯韋方程組（Maxwell’sEquations）一、麥克斯韋方程穩(wěn)恒情況1、庫(kù)侖定律2、畢奧－沙伐爾定律麥克斯韋理論兩對(duì)矛盾的解決？實(shí)驗(yàn)定律3、法拉第電磁感應(yīng)定律緩變情況4、電荷守恒定律1865年發(fā)表了關(guān)于電磁場(chǎng)的第三篇論文

2、：《電磁場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)理論》，在這篇論文中，麥克斯韋提出了電磁場(chǎng)的普遍方程組，共20個(gè)方程，包括20個(gè)變量。直到1890年，赫茲才給出簡(jiǎn)化的對(duì)稱形式：上式即為真空中的麥克斯韋方程組，其中（2）（4）含有對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)，對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)方程，（1）（3）為約束方程。二、麥克斯韋方程組的基本性質(zhì)1、線性性麥克斯韋方程組是一組線性方程，表明場(chǎng)服從迭加原理。2、自洽性方程組各個(gè)方程彼此協(xié)調(diào)，且與電荷守恒定律協(xié)調(diào)。如（2）式和（3）式一致：由（2）式有：，考慮到靜磁時(shí),所以取。又如（1）式和（4）式是一致的，且聯(lián)立（1）(4)可以得到電荷守恒定律。3、獨(dú)

3、立性即麥克斯韋方程組中任一方程，都不可能由其余的方程推導(dǎo)出來(lái)。4、對(duì)稱性（只作簡(jiǎn)單介紹）無(wú)源區(qū)（自由場(chǎng)）：,麥克斯韋方程可以寫為：如對(duì)方程中的場(chǎng)量作如下代換：（）則上述麥克斯韋方程變?yōu)椋荷鲜奖砻髯杂煽臻g的麥克斯韋方程組的形式不變（只是方程的次序發(fā)生了改變），即如果存在，則也必存在，并稱為的對(duì)偶場(chǎng)。有源區(qū)：，無(wú)對(duì)偶不變性（對(duì)稱性破缺），其根源在于方程中源的不對(duì)稱，即不存在磁荷。但若引入（磁荷）和（磁流），使方程變?yōu)椋簞t可對(duì)場(chǎng)和源進(jìn)行對(duì)偶變換，而使方程的形式不變：場(chǎng)：源：；例如：對(duì)（2）式進(jìn)行變換，有：注意到，化簡(jiǎn)得：與（4）式一致，這

4、表明對(duì)應(yīng)場(chǎng)，一定存在對(duì)偶場(chǎng)。5、完備性（不作證明，有興趣的學(xué)生自己證明）完備性是指給定電荷、電流分布和相應(yīng)的初始條件和邊界條件后，方程組能給出唯一正確的解。證明：用反證法如果有兩個(gè)不同的解、同時(shí)滿足麥克斯韋方程和相應(yīng)的初始條件、邊界條件。設(shè)、,顯然，它們滿足無(wú)源自由空間的麥克斯韋方程。即：,，,及齊次邊界條件：和齊次初始條件：。因此，對(duì)應(yīng)的體系是無(wú)源的、無(wú)初始擾動(dòng)、邊界上值恒為零的體系。對(duì)于這樣一個(gè)電磁場(chǎng)，我們來(lái)計(jì)算如下積分：由于體系的邊界不隨時(shí)間改變，所以上述積分可以化為：由于邊界上，所以。因此又因初始時(shí)，所以這個(gè)常數(shù)為零。但等式

5、左邊的被積函數(shù)恒大于或等于零，因此得到：即,6、預(yù)見(jiàn)性即預(yù)言了電磁波的存在。事實(shí)上，由無(wú)源區(qū)的麥克斯韋方程，有：對(duì)上式兩邊取旋度，有：將及代入上式，有：（）同理可得：與經(jīng)典的波動(dòng)方程比較：一維：三維：可以看出和滿足波動(dòng)方程，為電磁波的速度。三、媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系當(dāng)有媒質(zhì)存在時(shí)，麥克斯韋方程組還不夠完備（12個(gè)未知數(shù)，8個(gè)標(biāo)量方程），需要補(bǔ)充描述媒質(zhì)特性的方程。對(duì)于各項(xiàng)同性的線性介質(zhì)，有：此時(shí)，麥克斯韋方程組寫為：稱為麥克斯韋方程組的限定形式。例題2.6.1講解要點(diǎn)1）分析電路，針對(duì)電路說(shuō)明位移電流和傳導(dǎo)電流產(chǎn)生的原因、存在的區(qū)域及引起的

6、效應(yīng)；2）根據(jù)已知條件，計(jì)算位移電流和傳導(dǎo)電流；3）求電流激發(fā)的磁場(chǎng)（導(dǎo)線附近，導(dǎo)線可以視為無(wú)限長(zhǎng)）例題2.6.2講解要點(diǎn)1）講明題目的意思：是電場(chǎng)強(qiáng)度矢量，一定要滿足麥克斯韋方程組；2）在無(wú)源區(qū)，變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互激發(fā)，已知矢量，就可以根據(jù)麥克斯韋方程組求出磁矢量（）。2.7電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系在介質(zhì)分界面上，若存在自由面電荷、面電流分布或由于極化、磁化而出現(xiàn)面電荷和面電流分布，則場(chǎng)量在面上變得不連續(xù)，微分形式的麥克斯韋方程不在適用，需要根據(jù)積分形式的麥克斯韋方程來(lái)討論邊界上的場(chǎng)關(guān)系。Gauss定理Stocks定理一、邊值關(guān)系的一般

7、形式1、磁場(chǎng)強(qiáng)度的邊值關(guān)系設(shè)分界面的法向單位矢為（指向媒質(zhì)1），是沿分界面的切向單位矢，平行邊界作一小扁回路，并令此回路與分界面正交且其長(zhǎng)邊與界面平行，如圖由，有：所以：上式表明，當(dāng)分界面上有自由電流分布時(shí)，磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是不連續(xù)的。上式中都與回路的選取有關(guān)，利用可得：或上式對(duì)任意回路都成立，因而有：2、電場(chǎng)強(qiáng)度的邊值關(guān)系將上圖中的磁場(chǎng)強(qiáng)度改為電場(chǎng)強(qiáng)度，由于考慮到是有限量，同理可以得到：即電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的。問(wèn)題：電位移矢量的切線分量連續(xù)嗎？3、電位移矢量的邊值關(guān)系介質(zhì)2介質(zhì)1選右圖所示的扁圓柱形封閉合面，由有：式中，且

8、是比更高階的無(wú)窮小，因而有：即：特例：當(dāng)時(shí)，電位移的法向分量連續(xù)。問(wèn)題：的法向分量連續(xù)時(shí)，的法向分量連續(xù)嗎？為什么？4、磁感應(yīng)強(qiáng)度的邊值關(guān)系對(duì)于磁場(chǎng)，把應(yīng)用到邊界區(qū)域上，同理得到：即磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量連續(xù)、無(wú)躍變。問(wèn)題：的法向分量連