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《等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第二章數(shù)列2.3等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1.等差數(shù)列的遞推公式是什么？an－1＋an＋1＝2an（n≥2）an－an－1＝d（n≥2）【問題提出】2.等差數(shù)列通項(xiàng)公式是什么？結(jié)構(gòu)上它有什么特征？在結(jié)構(gòu)上是關(guān)于n的一次函數(shù).an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d＝pn＋k.3.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的兩個(gè)基本公式是什么？4.深入研究等差數(shù)列的概念與前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式的內(nèi)在聯(lián)系，可發(fā)掘出等差數(shù)列的一系列性質(zhì)，我們將對(duì)此作些簡(jiǎn)單探究.思考1：若數(shù)列{an}的前n和那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？{an}是等差數(shù)列【知識(shí)探究】『知識(shí)探究（一）——等差數(shù)
2、列與前n項(xiàng)和的關(guān)系』思考2：將等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式看作是一個(gè)關(guān)于n的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)有什么特點(diǎn)？當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù).思考3：一般地，若數(shù)列{an}的前n和Sn＝An2＋Bn，那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？若Sn＝An2＋Bn＋C呢？（1）數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn（2）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn＝An2＋Bn＋C，則：①若C＝0，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②若C≠0，則數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起是等差數(shù)列。思考4：若{an}為等差數(shù)列，那么是什么數(shù)列？數(shù)列{an}是等差數(shù)列?為等差數(shù)列即等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的
3、平均值組成的數(shù)列仍然是等差數(shù)列，且公差是數(shù)列{an}的公差的一半。『知識(shí)探究（二）——等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)』思考1：在等差數(shù)列{an}中，每連續(xù)k項(xiàng)的和組成的數(shù)列，即數(shù)列a1＋a2＋…＋ak，ak+1＋ak+2＋…＋a2k，a2k+1＋a2k+2＋…＋a3k，……是等差數(shù)列嗎？性質(zhì)：若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，那么數(shù)列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k,…仍然成等差數(shù)列思考3：在等差數(shù)列{an}中，設(shè)S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，則S偶－S奇與等于什么？S偶－S奇＝nd思考2：在等差數(shù)列{an}中，Sn，S2n
4、，S3n三者之間有什么關(guān)系？S3n＝3(S2n－Sn)思考4：設(shè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，則等于什么？思考5：在等差數(shù)列{an}中，若a1＞0，d＜0，則Sn是否存在最值？如何確定其最值？當(dāng)ak≥0，ak＋1＜0時(shí)，Sk為最大.【題型分類深度剖析】題型1：等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用例1：（1）若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則該數(shù)列有()項(xiàng)。A.13B.12C.11D.10『變式探究』1.已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2+a3+…+a101=0，則有()A.a1+a1
5、01>0B.a2+a100<0C.a3+a99=0D.a51=512.等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn＝an2＋(a＋1)n＋a＋2，則an＝.3.等差數(shù)列{an}中，已知S4＝2，S8＝7，則S12=_____；4.等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)的和為30，前2m項(xiàng)的和為100，則它的前3m項(xiàng)的和為()A.130B.170C.210D.2605.等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，a1＝－2011，，則S2011的值為()A.0B.2011C.－2011D.－2011×2011題型2：等差數(shù)列最值問題例2：等差數(shù)列{an}中，a1<0，S9＝S12，
6、該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最小？又∵n∈N*，∴n＝10或n＝11時(shí)，Sn取最小值．>>小結(jié)：求等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn的最值常用方法：方法1：二次函數(shù)性質(zhì)法，即求出Sn=an2+bn，討論二次函數(shù)的性質(zhì)方法2：討論數(shù)列{an}的通項(xiàng)，找出正負(fù)臨界項(xiàng)。（1）若a1>0，d<0，則Sn有大值，且Sn最大時(shí)的n滿足an≥0且an+1<0;（2）若a1<0，d>0，則Sn有小值，且Sn最小時(shí)的n滿足an≤0且an+1>0;『變式探究』1.首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列{an}，它的前3項(xiàng)和與前11項(xiàng)和相等，則此數(shù)列前________項(xiàng)和最大？2.等差數(shù)列{an}前
7、n項(xiàng)和Sn中，以S7最大，且
8、a7
9、<
10、a8
11、，則使Sn>0的n的最大值為_____．3.等差數(shù)列{an}中，已知
12、a7
13、=
14、a16
15、=9，且a14=5，則使an<0的最大自數(shù)n=（）．A.10B.11C.12D.134.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝12，S12＞0，S13＜0.（1）求數(shù)列{an}公差d的取值范圍；（2）指出S1，S2，S3，…，S12中哪一個(gè)值最大。5.數(shù)列{an}首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且第六項(xiàng)為正，第七項(xiàng)為負(fù).（1）求數(shù)列{an}的公差d；（2）求前n項(xiàng)和Sn的最大值；（3）當(dāng)Sn>0時(shí)，求n的
16、最大值；題型3：等差數(shù)列中的an與Sn的關(guān)系例3：Sn，Tn分別是等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)的和，且，則.1.已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn
