指數(shù)運算和指數(shù)函數(shù)

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1、-指數(shù)運算和指數(shù)函數(shù)一、知識點1.根式的性質（1）當n為奇數(shù)時，有（2）當n為偶數(shù)時，有（3）負數(shù)沒有偶次方根（4）零的任何正次方根都是零2.冪的有關概念(1)正整數(shù)指數(shù)冪：(2)零指數(shù)冪(3)負整數(shù)指數(shù)冪(4)正分數(shù)指數(shù)冪(5)負分數(shù)指數(shù)冪(6)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義3.有理指數(shù)冪的運算性質(1)(2)(3)4．指數(shù)函數(shù)定義：函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)。5.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質01圖象性質定義域R值域(0,+∞)定點過定點（0，1），即x=0時，y=1（1）a>1，當x

2、>0時，y>1；當x<0時，00時，01。單調(diào)性在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)對稱性和關于y軸對稱-二、指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律（1）①②③④則：0＜b＜a＜1＜d＜c又即：x∈(0,+∞)時，（底大冪大）x∈(－∞,0)時，（2）特殊函數(shù)的圖像：三、指數(shù)式大小比較方法(1)單調(diào)性法：化為同底數(shù)指數(shù)式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較.(2)中間量法(3)分類討論法(4)比較法比較法有作差比較與作商比較兩種，其原理分別為：①若；；；②當兩

3、個式子均為正值的情況下，可用作商法，判斷，或即可．四、典型例題類型一、指數(shù)函數(shù)的概念例1．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，求的值．【答案】2【解析】由是指數(shù)函數(shù)，可得解得，所以．舉一反三：【變式1】指出下列函數(shù)哪些是指數(shù)函數(shù)？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（1）（5）（6）-【解析】（1）（5）（6）為指數(shù)函數(shù)．其中（6）=，符合指數(shù)函數(shù)的定義，而（2）中底數(shù)不是常數(shù)，而4不是變數(shù)；（3）是-1與指數(shù)函數(shù)的乘積；（4）中底數(shù)，所以不是指數(shù)函數(shù)．類型二、函數(shù)的定義域、值域例2．求下列函數(shù)的

4、定義域、值域.(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a為大于1的常數(shù))【答案】（1）R，(0，1)；（2）R[)；（3）；（4）[1，a)∪(a，+∞)【解析】(1)函數(shù)的定義域為R(∵對一切xR，3x≠-1).∵，又∵3x>0，1+3x>1，∴，∴，∴，∴值域為(0，1).(2)定義域為R，，∵2x>0，∴即x=-1時，y取最小值，同時y可以取一切大于的實數(shù)，∴值域為[).(3)要使函數(shù)有意義可得到不等式，即，又函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，即，值域是.(4)∵∴定義域為(-∞，-1)∪[

5、1，+∞)，又∵，∴，∴值域為[1，a)∪(a，+∞).【總結升華】求值域時有時要用到函數(shù)單調(diào)性；第(3)小題中值域切記不要漏掉y>0的條件，第(4)小題中不能遺漏.-舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的定義域：(1)(2)(3)(4)【答案】（1）R；（2）；（3）；（4）a>1時，；01時，；0

6、【總結升華】本題中解不等式的依據(jù)主要是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)所給的同底指數(shù)冪的大小關系，結合單調(diào)性來判斷指數(shù)的大小關系.類型三、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應用例3．討論函數(shù)的單調(diào)性，并求其值域．【思路點撥】對于x∈R，恒成立，因此可以通過作商討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．此函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)復合而成的函數(shù)，因此可以逐層討論它的單調(diào)性，綜合得到結果．【答案】函數(shù)在區(qū)間（－∞，1）上是增函數(shù)，在區(qū)間[1，+∞）上是減函數(shù)（0，3]【解析】解法一：∵函數(shù)的定義域為（－∞，+∞），設x1、x2∈（－∞，+∞）且有

7、x1＜x2，∴，，．（1）當x1＜x2＜1時，x1+x2＜2，即有x1+x2－2＜0．又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＜0，則知．又對于x∈R，恒成立，∴．∴函數(shù)在（－∞，1）上單調(diào)遞增．-（2）當1≤x1＜x2時，x1+x2＞2，即有x1+x2－2＞0．又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＞0，則知．∴．∴函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞減．綜上，函數(shù)在區(qū)間（－∞，1）上是增函數(shù)，在區(qū)間[1，+∞）上是減函數(shù)．∵x2―2x=(x―1)2―1≥－1，，．∴函數(shù)的值

8、域為（0，3]．解法二：∵函數(shù)的下義域為R，令u=x2－2x，則．∵u=x2―2x=(x―1)2―1，在（―∞，1]上是減函數(shù)，在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，∴函數(shù)在（－∞，1]內(nèi)為增函數(shù)．又在其定義域內(nèi)為減函數(shù)，而u=x2―2x=(x―1)2―1在[1，+∞）上是增函數(shù)，∴函數(shù)在[1，+∞）上是減函數(shù)．值域的求法同解法一．【總結升華】由本例可知，研究型的復合函數(shù)的單調(diào)性用復合法，比用定義法要簡便些，一般地有：即當a＞1時，的單調(diào)性與的單調(diào)性相同；當0＜a＜1時，的單調(diào)與的單調(diào)性相反．舉一