函數(shù)的值域求法集錦

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1、函數(shù)的值域題型一：二次函數(shù)的值域例1．求的值域解答：配方法：所以值域為例2．求在上的值域解答：函數(shù)圖像法：畫出函數(shù)的圖像可知，,在時取到最小值，而在時取到最大值8，可得值域為。例3．求在上的值域解答：由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)的最值跟a的取值有關(guān)，所以進行分類討論：①當時，對稱軸在的左側(cè)，所以根據(jù)圖像可知，，所以此時的值域為①當時，對稱軸在與y軸之間，所以根據(jù)圖像可知，，所以此時的值域為②當時，對稱軸在y軸與之間，所以根據(jù)圖像可知，，所以此時的值域為③當時，對稱軸在的右側(cè)，所以根據(jù)圖像可知，，所以此時的值域為題型二：指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的值域例1．求的值域解答：復(fù)合形

2、式用換元：令，則由例1可知，根據(jù)單調(diào)性，可求出的值域為例2．求的值域解答：因為，所以，采用換元發(fā)，令，則則原函數(shù)變?yōu)?，可以根?jù)二次函數(shù)值域的求法得到值域為題型三：分式函數(shù)的值域例1．求函數(shù)的值域解法一：分離變量法，將分式中分子部分的變量分離出去。則可以換元，令，原函數(shù)變?yōu)?，由反比例函?shù)的性質(zhì)可知，值域為解法二：反函數(shù)法，利用原函數(shù)的值域就是反函數(shù)的定義域，來求值域。令，則，得到，可知解法三：解析幾何法?？紤]數(shù)形結(jié)合，聯(lián)想到分式表示兩點間連線的斜率，則講原函數(shù)寫為，可以看成是兩點連線的斜率，其中是動點，構(gòu)成直線軌跡，則連線必須與相交，所以連線斜率不能是2，得到

3、值域。例2．求函數(shù)在的值域解法一：分離變量之后采用函數(shù)圖像法，令，，原函數(shù)變?yōu)?，可以畫出的圖像，或者根據(jù)單調(diào)性直接可以得到值域為解法二：反函數(shù)法，將代入中，求解不等式，可以得到值域范圍。解法三：解析幾何法。，可以看成是兩點連線的斜率，其中是動點，不在構(gòu)成直線，而是構(gòu)成在區(qū)間的線段，畫出圖像后觀察可得斜率的范圍為例1．求函數(shù)的值域解法一：分離變量法，令，原函數(shù)變?yōu)橛删挡坏仁娇芍?，當，可以得到原函?shù)的值域為解法二：判別式法，令，則，整理得關(guān)于的一元二次方程，滿足方程有解，該方程的判別式可得,即函數(shù)的值域為解法三：解析幾何法，，可以看成是兩點之間連線的斜率，而

4、是動點，恰好構(gòu)成的軌跡，由圖像可以看出，連線斜率的范圍從而得到函數(shù)的值域。例1．求函數(shù)在的值域解答：此題限制了定義域，導(dǎo)致判別式法失效，采用分離變量法，畫出函數(shù)圖像來求函數(shù)的值域。令，，原函數(shù)變?yōu)楫嫵鰧春瘮?shù)的圖像，可以得到的值域范圍是，則最后函數(shù)的值域為題型四：三角函數(shù)的值域例2．求函數(shù)的值域解答：使用輔助角公式，，可知函數(shù)的值域為例3．求函數(shù)的值域解答：先化簡，都轉(zhuǎn)為一次三角函數(shù)后使用輔助角公式，可知函數(shù)的值域為例1．求函數(shù)的值域解答：先化為同角的三角函數(shù)，再換元為二次函數(shù)求解值域。令，則原函數(shù)化為，則按前面的例題可得函數(shù)的值域為，例2．求函數(shù)的值域解答

5、：利用來換元。令，則原函數(shù)化為，同理，按二次函數(shù)的值域求法，可得結(jié)果。例3．求函數(shù)的值域解法一：輔助角公式法。類似于二次分式的判別式法，令，則可得，利用輔助角公式后，則要求，可解出值域范圍解法二：解析幾何法。三角分式也可以看為，即兩點連線的斜率，其中是動點，構(gòu)成的軌跡是圓心在原點，半徑為1的圓，根據(jù)圖像可知，連線與圓相切時分別取到最大值和最小值，可得函數(shù)的值域例1．求函數(shù)在上的值域解答：此時無法使用輔助角公式法，只能用解析幾何法，動點構(gòu)成的軌跡為右半圓，這樣，可得結(jié)果題型五：絕對值函數(shù)的值域例2．求函數(shù)的值域解法一：零點分類討論法。當時，；當時，；當時，。所

6、以函數(shù)的值域為解法二：利用絕對值的幾何意義，畫出數(shù)軸，分別表示到-5與1的距離，根據(jù)數(shù)軸圖像，可以直接得到值域為例3．求函數(shù)的值域解答：零點分類法將十分麻煩，利用換元法，令，則原函數(shù)化為，則根據(jù)數(shù)軸法，可以得到函數(shù)的值域為題型六：根式函數(shù)的值域例1．求函數(shù)的值域解法一：換元法，令，則原函數(shù)化為，根據(jù)二次函數(shù)值域的求法，可得原函數(shù)值域為。解法二：解析幾何法，令，，可得，即函數(shù)的值可以看成是直線的截距，而直線必須通過上的點，畫出圖像可知相切時截距最小，可得函數(shù)的值域例2．求函數(shù)的值域解法一解法二同上一例題，注意換元時的等價性，結(jié)果解法三：單調(diào)性法，題目中函數(shù)為單

7、調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的定義域，代入可得函數(shù)的值域。例3．求函數(shù)的值域解法一：三角換元法，令，這樣換元既可以保證換元的等價性，同時可以使得開方后的表達式去掉絕對值符號，注意，畫出三角函數(shù)圖像可得值域為。解法二：解析幾何法，令，，可得，即函數(shù)的值可以看成是直線的截距，而直線必須通過，通過作圖可以得到截距的范圍，也就是函數(shù)的值域例1．求函數(shù)的值域解法一：三角換元，類似于上一道題，令，這樣可以得到，化為三角分式，在利用解析幾何法將其轉(zhuǎn)化為兩點的斜率可以做出圖像得到值域為解法二：解析幾何法，類似于上一道題，令，，可得，即函數(shù)的值可以看成是直線的截距的2倍，而直線必須通過即

8、雙曲線的上半支，通過作圖可知相切時取得截距的最小值，