差分方程的解法

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1、第三節(jié)????????????差分方程常用解法與性質(zhì)分析1、常系數(shù)線性差分方程的解???????方程????????????（8）??其中為常數(shù)，稱方程（8）為常系數(shù)線性方程。?????又稱方程????????（9）???為方程（8）對(duì)應(yīng)的齊次方程。???如果（9）有形如的解，帶入方程中可得：?????????????????????????????（10）??????稱方程（10）為方程（8）、（9）的特征方程。??顯然，如果能求出（10）的根，則可以得到（9）的解。?????????????????基本結(jié)果如下：（1）????若（10）有k個(gè)不同的實(shí)根，則（9）有通解：??????????

2、??????????，（2）????若（10）有m重根，則通解中有構(gòu)成項(xiàng)：??????????????????????????????（3）若（10）有一對(duì)單復(fù)根??，令：，，則（9）的通解中有構(gòu)成項(xiàng)：??????????（4）若有m重復(fù)根：，，則（9）的通項(xiàng)中有成項(xiàng)：??????????綜上所述，由于方程（10）恰有k個(gè)根，從而構(gòu)成方程????（9）的通解中必有k個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)。通解可記為：???????如果能得到方程（8）的一個(gè)特解：，則（8）必有通解：???????????????????????????????+????????????????????????????（11）?（1）

3、???的特解可通過(guò)待定系數(shù)法來(lái)確定。??????例如：如果為n的多項(xiàng)式，則當(dāng)b不是特征根時(shí)，可設(shè)成形如形式的特解，其中為m次多項(xiàng)式；如果b是r重根時(shí)，可設(shè)特解：，將其代入（8）中確定出系數(shù)即可。2、差分方程的z變換解法???????對(duì)差分方程兩邊關(guān)于取Z變換，利用的Z變換F（z）來(lái)表示出的Z變換，然后通過(guò)解代數(shù)方程求出F（z），并把F(z)在z=0的解析圓環(huán)域中展開成洛朗級(jí)數(shù)，其系數(shù)就是所要求的例1???????設(shè)差分方程，求?解：解法1：特征方程為，有根：?????????????故：為方程的解。??????????由條件得：解法2：設(shè)F（z）=Z(),方程兩邊取變換可得：?????????

4、由條件得?由F（z）在中解析，有??????????所以，3、二階線性差分方程組設(shè)，，形成向量方程組???????????????????????????????????????????????????（12）則???????????????????????????????????????????????（13）????（13）即為（12）的解。???????為了具體求出解（13），需要求出，這可以用高等代數(shù)的方法計(jì)算。常用的方法有：????????（1）如果A為正規(guī)矩陣，則A必可相似于對(duì)角矩陣，對(duì)角線上的元素就是A的特征值，相似變換矩陣由A的特征向量構(gòu)成：。?????????（2）將A分解成

5、為列向量，則有????????????????????????????????????從而，（3）???或者將A相似于約旦標(biāo)準(zhǔn)形的形式，通過(guò)討論A的特征值的性態(tài)，找出的內(nèi)在構(gòu)造規(guī)律，進(jìn)而分析解?的變化規(guī)律，獲得它的基本性質(zhì)。4、關(guān)于差分方程穩(wěn)定性的幾個(gè)結(jié)果（1）k階常系數(shù)線性差分方程（8）的解穩(wěn)定的充分必要條件是它對(duì)應(yīng)的特征方程（10）所有的特征根滿足????????（2）一階非線性差分方程??????????????????????????????????????????????????????????????????（14）?????????????（14）的平衡點(diǎn)由方程決定，??????

6、??將在點(diǎn)處展開為泰勒形式：??????????????????????????????????????????????（15）????故有：時(shí)，（14）的解是穩(wěn)定的，????????????????時(shí)，方程（14）的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。