《定積分教案》word版

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1、《數(shù)學(xué)分析》之九第九章定積分（14+4學(xué)時）教學(xué)大綱教學(xué)要求：1．理解Riemann定積分的定義及其幾何意義2．了解上和與下和及其有關(guān)性質(zhì)3．理解函數(shù)可積的充要條件，了解Riemann可積函數(shù)類4．熟練掌握定積分的主要運算性質(zhì)以及相關(guān)的不等式5．了解積分第一中值定理6．掌握變上限積分及其性質(zhì)7．熟練掌握Newton-Leibniz公式，定積分換元法，分部積分法教學(xué)內(nèi)容：問題的引入（曲邊梯形的面積及變速直線運動的路程），定積分定義，幾何意義，可積的必要條件，上和、下和及其性質(zhì)，可積的充分條件，可積函數(shù)類，定積分的性質(zhì)，積分中值定理，微積分學(xué)基本定理，牛頓一萊布尼茲公式，定積分的換元法及分部

2、法。第頁28時間---------月---------日星期-----------------課題§1定積分概念（2學(xué)時）教學(xué)目的知道定積分的客觀背景——曲邊梯形的面積和變力所作的功等，以及解決這些實際問題的數(shù)學(xué)思想方法；深刻理解并掌握定積分的思想：分割、近似求和、取極限，進而會利用定義解決問題；教學(xué)重點深刻理解并掌握定積分的思想教學(xué)難點理解并掌握定積分的思想，理解定積分是特殊和式的極限課型理論講授教學(xué)媒體教法選擇講練結(jié)合教學(xué)過程教法運用及板書要點復(fù)習(xí)極限的定義，極限的唯一性定理；導(dǎo)數(shù)的引入例子及其物理意義；不定積分概念，及其與導(dǎo)數(shù)運算的性質(zhì)；定積分是特殊和式的極限一、問題背景：1.曲邊

3、梯形的面積:思想：以“不變”代“變”：方法：分割；近似；求和；取極限設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且。則由曲線，直線，以及軸所圍成的平面圖形（如下左圖），稱為曲邊梯形。下面將討論該曲邊梯形的面積（這是求任何曲線邊界圖形的面積的基礎(chǔ)）。在區(qū)間內(nèi)任取個分點，依次為它們將區(qū)間分割成個小區(qū)間，。記為，即，。并用表示區(qū)間的長度，記，再用直線，把曲邊梯形分割成個小曲邊梯形（如上右圖）。在每個小區(qū)間，上任取一點，，作以為高，為底的小矩形，其面積為，當(dāng)分點不斷增多，又分割得較細密時，由于連續(xù)，它在每個小區(qū)間上的變化不大，從而可用這些小矩形的面積近似代替相應(yīng)的小曲邊梯形的面積。于是，該曲邊梯形面積的近似值為此表2

4、學(xué)時填寫一份，“教學(xué)過程”不足時可續(xù)頁第頁28。從而。2.變力所作的功:思想：以“不變”代“變”：方法：分割；近似；求和；取極限變力所作的功W設(shè)質(zhì)點受力F的作用沿軸由點移動到點，并設(shè)F處處平行于軸（如下圖），同上述，有，而根據(jù)上述兩個例子建立數(shù)學(xué)模型對于函數(shù)，按照上述方法，討論“極限”方法：分割；近似；求和；取極限二、定積分的定義:3.有關(guān)概念：分割；分割T的模積分和（黎曼和）；可積，黎曼可積，被積函數(shù)，積分變量，積分區(qū)間，積分上限、積分下限函數(shù)，方法：分割；近似；求和；取極限定義設(shè)是定義在[]上的一個函數(shù)，對于[]的一個分割，任取點，，并作和式。稱此和式為在[]關(guān)于分割T的一個積分和，

5、也稱黎曼和。（注：積分和既與分割T有關(guān)，也與點的取法有關(guān)）。又設(shè)是一個確定的實數(shù)，若對任給的，總存在，使得對[]的任意分割T，以及，，只要，就有第頁28。則稱函數(shù)在[]上可積或黎曼可積。數(shù)稱為函數(shù)在[]上的定積分或黎曼積分，記作：其中稱為被積函數(shù)，稱為積分變量，[]稱為積分區(qū)間，稱為被積式，分別稱為積分的下限和上限。定積分的幾何意義；連續(xù)函數(shù)定積分存在（見定理9.3）三、舉例:例1?已知函數(shù)在區(qū)間上可積.用定義求積分.解取等分區(qū)間作為分法取.=.由函數(shù)在區(qū)間上可積,每個特殊積分和之極限均為該積分值.例2?已知函數(shù)在區(qū)間上可積,用定義求積分.解分法與介點集選法如例1,有.上式最后的極限求不

6、出來,但卻表明該極限值就是積分28.四、小結(jié)：指出本講要點定積分的概念（幾何意義）；定積分的問題背景；若定積分存在，按定義計算定積分的值時，分割與介點的選取，可取特殊點，解題步驟（回顧例1）。作業(yè)：課后1.2.（1）（2）此表2學(xué)時填寫一份，“教學(xué)過程”不足時可續(xù)頁28時間---------月---------日星期-----------------課題§2Newton—Leibniz公式（2學(xué)時）教學(xué)目的深刻理解微積分基本定理的意義，能夠熟練地應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式計算定積分.教學(xué)重點能夠熟練地應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式計算定積分教學(xué)難點應(yīng)用定積分計算形式的極限課型理論課教學(xué)媒體教法選擇講

7、練結(jié)合教學(xué)過程教法運用及板書要點一、復(fù)習(xí)定積分的定義，分割；積分和（黎曼和）；極限存在（可積）；定積分的幾何意義；注：定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間[]有關(guān)，而與積分變量所用的符號無關(guān)。二、定積分的計算（1），按定義計算（2）應(yīng)用下列定理Th9.1（N—L公式）若函數(shù)在【a，b】上連續(xù)，且存在原函數(shù)，即，則在【a，b】上可積，且這個公式稱作（N—L公式）(證明思路函數(shù)函數(shù)在【a，b】上連續(xù)，則一致連續(xù))（根據(jù)定積分定義與極限定義證