數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法和應(yīng)用

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1、WORD格式整理數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法及其應(yīng)用摘要：在概率論中，數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量一個(gè)重要的數(shù)字特征，它比較集中的反映了隨機(jī)變量的某個(gè)側(cè)面的平均性，而且隨機(jī)變量的其他數(shù)字特征都是由數(shù)學(xué)期望來(lái)定義的，因此對(duì)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法的研究與探討具有很深的實(shí)際意義。本論文著重總結(jié)了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望在離散型隨機(jī)變量分布與連續(xù)型隨機(jī)變量分布下的一些常用的計(jì)算方法，如利用數(shù)學(xué)期望的定義和性質(zhì)，利用不同分布的數(shù)學(xué)期望公式等等，并通過(guò)一些具體的例子說(shuō)明不停的計(jì)算方法在不同情況下的應(yīng)用，以達(dá)到計(jì)算最簡(jiǎn)化的目的。本文還通過(guò)介紹了一些隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算技巧，并探討了各種簡(jiǎn)化計(jì)算隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的方法

2、，利用一些特殊求和與積分公式，利用數(shù)學(xué)期望定義的不同形式，利用隨機(jī)變量分布的對(duì)稱性、重期望公式以及特征函數(shù)等，并通過(guò)例題使我們更加了解和掌握這些計(jì)算技巧，已達(dá)到學(xué)習(xí)該內(nèi)容的目的。關(guān)鍵詞：離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望計(jì)算方法ABSTRACT：第一節(jié)離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法及應(yīng)用1.1利用數(shù)學(xué)期望的定義，即定義法定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量Ｘ分布列為…………則隨機(jī)變量Ｘ的數(shù)學(xué)期望E(X)=注意：這里要求級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，若級(jí)數(shù)不收斂，則隨機(jī)變量專業(yè)知識(shí)分享WORD格式整理Ｘ的數(shù)學(xué)期望不存在例1某推銷人與工廠約定，永川把一箱貨物按期無(wú)損地運(yùn)到目的地可得傭金10元，若不按期則扣2元，若

3、貨物有損則扣5元，若既不按期又有損壞則扣16元。推銷人按他的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為，一箱貨物按期無(wú)損的的運(yùn)到目的地有60﹪把握，不按期到達(dá)占20﹪，貨物有損占10﹪，不按期又有損的占10﹪。試問(wèn)推銷人在用船運(yùn)送貨物時(shí)，每箱期望得到多少？解設(shè)Ｘ表示該推銷人用船運(yùn)送貨物時(shí)每箱可得錢數(shù)，則按題意，Ｘ的分布為85-60.60.20.1按數(shù)學(xué)期望定義，該推銷人每箱期望可得10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元1.1公式法對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中的隨機(jī)變量，假如我能夠判定它服從某重點(diǎn)性分布特征（如二項(xiàng)分布，泊松分布，超幾何分布等），則我們就可以直接利用典型分布的數(shù)學(xué)期望公式來(lái)求此隨機(jī)變量的期望。（1

4、）二點(diǎn)分布：~，則（2）二項(xiàng)分布：，，則（3）幾何分布：,則有（4）泊松分布：，有（5）超幾何分布：,有例2一個(gè)實(shí)驗(yàn)競(jìng)賽考試方式為：參賽者從6道題中一次性隨機(jī)抽取3道題,按要求獨(dú)立完成題目.競(jìng)賽規(guī)定：至少正確完成其中2題者方可通過(guò),已知6道備選題中參賽者甲有4題能正確完成,2題不能完成；參賽者乙每題能正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響.分別求出甲、乙兩參賽者正確完成題數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解設(shè)參賽者甲正確完成的題數(shù)為,則服從超幾何分布,其中,∴設(shè)參賽者乙正確完成的題數(shù)為,則,1.3性質(zhì)法專業(yè)知識(shí)分享WORD格式整理利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)求期望，主要性質(zhì)有：其中為隨機(jī)變量，為常數(shù)。例3

5、某工程隊(duì)完成某項(xiàng)工程的時(shí)間(單位：月)是一個(gè)隨機(jī)變量，它的分布列為（1）試求該工程隊(duì)完成此項(xiàng)任務(wù)的平均月數(shù)；（2）社該工程隊(duì)所獲利潤(rùn)為,單位為萬(wàn)元。試求工程隊(duì)的平均利潤(rùn)。解（1）根據(jù)題意，我們可求平均月數(shù)為：月（2）由（1）知，則可得1.5利用逐項(xiàng)微分法這種方法是對(duì)于概率分布中含有參數(shù)的隨機(jī)變量而言的，我們可以通過(guò)逐項(xiàng)求微分的方法求解出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，關(guān)鍵步驟是對(duì)分布列的性質(zhì)兩邊關(guān)于參數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，從而解出數(shù)學(xué)期望。例5設(shè)隨機(jī)變量，求。解因?yàn)?，故其中則（1）對(duì)（1）式兩邊關(guān)于求導(dǎo)得專業(yè)知識(shí)分享WORD格式整理根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義知：且知因此上式可以寫成：從而解得1.6利用條件數(shù)學(xué)期望

6、公式法條件分布的數(shù)學(xué)期望稱為條件數(shù)學(xué)期望，它主要應(yīng)用于二維隨機(jī)變量。在為二維離散隨機(jī)變量場(chǎng)合下，其計(jì)算公式為：或例6設(shè)二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列為012301234500.010.010.010.010.020.030.020.030.040.050.040.050.050.050.060.070.060.050.060.090.080.060.05試求和解要求，首先得求專業(yè)知識(shí)分享WORD格式整理同理可得用同樣的方法，我們可得1.7利用重期望公式法重期望是在條件期望的基礎(chǔ)之下產(chǎn)生的，是的函數(shù)，對(duì)的不同取值，條件期望的取值也在變化，因此我們可以把看作一個(gè)隨機(jī)變量。重期望的公式是,此

7、公式的前提是存在。如果是一個(gè)離散隨機(jī)變量，則重期望公式可改寫成為例7口袋中有編碼為的個(gè)球，從中任取一球，若取到1號(hào)球，則得1分，且停止摸球；若取得號(hào)球，則得分，且將此球放回，重新摸球。如此下去，試求得到的平均總分?jǐn)?shù)。解記為得到的總分?jǐn)?shù)，為第一次取到的球的號(hào)碼，則又因?yàn)?，而?dāng)時(shí)，所以由此解得第二節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法及應(yīng)用連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義和含義完全類似于離散隨機(jī)變量的，只要在離散隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義中用密度函數(shù)代替分布列，用積分是