函數(shù)展開成冪級數(shù)教學(xué)

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1、第四節(jié)函數(shù)展開成冪級數(shù)一、泰勒級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù)三、小結(jié)思考題一、泰勒級數(shù)上節(jié)例題存在冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)以f(x)為和函數(shù)問題:1.如果能展開,是什么?2.展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?證明泰勒系數(shù)是唯一的,逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次,得泰勒系數(shù)問題泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)?不一定.nnnxnf?￥=0)(!)0(稱為)(xf在點(diǎn)00=x的麥克勞林級數(shù).定義可見在x=0點(diǎn)任意可導(dǎo),證明必要性充分性證明二、函數(shù)展開成冪級數(shù)1.直接法(泰勒級數(shù)法)步驟:例1解由于M的任意性,即得例2解例3解兩邊積分得即牛頓二項(xiàng)式展開式注意:雙階乘2.間接法根據(jù)唯一性,利用常見展開

2、式,通過變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分等方法,求展開式.例如例4解三、小結(jié)1.如何求函數(shù)的泰勒級數(shù);2.泰勒級數(shù)收斂于函數(shù)的條件;3.函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法.思考題什么叫冪級數(shù)的間接展開法？思考題解答從已知的展開式出發(fā),通過變量代換、四則運(yùn)算或逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等辦法,求出給定函數(shù)展開式的方法稱之.練習(xí)題練習(xí)題答案