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1、第四節(jié)多元復合函數(shù)的求導法則一鏈式法則二全微分形式不變性三小結第九章復習：一元復合函數(shù)求導的鏈式法則y——x——t推廣:多元復合函數(shù)求導的鏈式法則1.中間變量均為一元函數(shù);2.中間變量均為多元函數(shù);3.中間變量既有一元函數(shù)又有多元函數(shù).一、鏈式法則復合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的證中間變量為一元函數(shù)的情形.定理1可用下列公式計算:具有連續(xù)偏導數(shù),函數(shù)z=f(u,v)在對應點(u,v)情形1先研究則復合函數(shù)在對應點t可導,且其導數(shù)全導數(shù)情形.全導數(shù)計算公式可微由于函數(shù)z=f(u,v)在點(u,v)有連續(xù)偏導數(shù)復合函數(shù)的中間變量多于兩個的情況.定理推廣導數(shù)變量樹圖三個中間變量稱為全導數(shù)(又
2、稱鏈導公式).例1-1解2例1解1解3:用代入法z=f(t)復合函數(shù)為則復合函數(shù)且可用下列公式具有連續(xù)偏導數(shù),的情對x和y的偏導數(shù),且函數(shù)z=f(u,v)在對應點(u,v)在對應點(x,y)的兩個偏導數(shù)存在,情形2復合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形.先研究形.兩個中間變量兩個自變量計算:都在點(x,y)具有鏈式法則如圖示(x,y)處具有對x和y的偏導數(shù),中間變量多于兩個的情形,即類似地再推廣,復合函數(shù)在對應點(x,y)的兩個偏導數(shù)存在,且可用下列公式計算:三個中間變量兩個自變量都在點項數(shù)問:每一項中間變量函數(shù)對中間變量的偏導數(shù)該中間變量對其指定自變量的偏導數(shù)(或導數(shù)).的個數(shù).函數(shù)對
3、某自變量的偏導數(shù)之結構解1:解2:用代入法情形3復合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)又有多元函數(shù)的情形：變量關系圖:xyvuzy例3解用代入法?特殊地即令其中兩者的區(qū)別區(qū)別類似注意:防止記號的混淆例4解用代入法?解(1)可看成是由復合而成的,所以(2)設(2)(1)例5例6解例7解1989年研究生考題,計算,5分解其中f(t)二階可導,g(u,v)有連續(xù)二階導數(shù),例8例9解由直角坐標與極坐標間的關系式例10解復合而成,應用復合函數(shù)求導法則,得兩式平方后相加,得再求二階偏導數(shù),得同理可得兩式相加,得全微分形式不變形的實質：無論是自變量的函數(shù)或中間變的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.二、全微分形式
4、不變性解1:解2:用代入法例1.例1.利用全微分形式不變性再解例2.解:所以解三內(nèi)容小結1.復合函數(shù)求導的鏈式法則“分段用乘,分叉用加,單路全導,叉路偏導”例如,2.全微分形式不變性不論u,v是自變量還是因變量,
