《二階微分方程的》ppt課件

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1、二階微分方程的機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束習(xí)題課(二)二、微分方程的應(yīng)用解法及應(yīng)用一、兩類二階微分方程的解法第十二章一、兩類二階微分方程的解法1.可降階微分方程的解法—降階法令令逐次積分求解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.二階線性微分方程的解法常系數(shù)情形齊次非齊次代數(shù)法歐拉方程練習(xí)題:P327題2;3(6),(7);4(2)；8機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解答提示P327題2求以為通解的微分方程.提示:由通解式可知特征方程的根為故特征方程為因此微分方程為P327題3求下列微分方程的通解提示:(6)令則方程變?yōu)闄C(jī)動(dòng)目錄上頁

2、下頁返回結(jié)束特征根:齊次方程通解:令非齊次方程特解為代入方程可得思考若(7)中非齊次項(xiàng)改為提示:原方程通解為特解設(shè)法有何變化?機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束P327題4(2)求解提示:令則方程變?yōu)榉e分得利用再解并利用定常數(shù)思考若問題改為求解則求解過程中得問開方時(shí)正負(fù)號(hào)如何確定?機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束P327題8設(shè)函數(shù)在r>0內(nèi)滿足拉普拉斯方程二階可導(dǎo),且試將方程化為以r為自變量的常微分方程,并求f(r).提示:利用對(duì)稱性,即(歐拉方程)原方程可化為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解初值問題:則原方程化為通解:利用初始條件

3、得特解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束特征根:例1.求微分方程提示:故通解為滿足條件解滿足處連續(xù)且可微的解.設(shè)特解:代入方程定A,B,得得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束處的銜接條件可知,解滿足故所求解為其通解:定解問題的解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.且滿足方程提示:則問題化為解初值問題:最后求得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考:設(shè)提示:對(duì)積分換元,則有解初值問題:答案:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束的解.例3.設(shè)函數(shù)內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(1)試將x＝x(y)所滿足的微分方程變換為y＝y(tǒng)(x)所滿足的微分方程

4、;(2)求變換后的微分方程滿足初始條件數(shù),且解:上式兩端對(duì)x求導(dǎo),得:(1)由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知(03考研)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束代入原微分方程得①(2)方程①的對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)①的特解為代入①得A＝0,從而得①的通解:題目錄上頁下頁返回結(jié)束由初始條件得故所求初值問題的解為二、微分方程的應(yīng)用1.建立數(shù)學(xué)模型—列微分方程問題建立微分方程(共性)利用物理規(guī)律利用幾何關(guān)系確定定解條件(個(gè)性)初始條件邊界條件可能還要銜接條件2.解微分方程問題3.分析解所包含的實(shí)際意義機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.解:欲向宇宙

5、發(fā)射一顆人造衛(wèi)星,為使其擺脫地球引力,初始速度應(yīng)不小于第二宇宙速度,試計(jì)算此速度.設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為m,地球質(zhì)量為M,衛(wèi)星的質(zhì)心到地心的距離為h,由牛頓第二定律得:②(G為引力系數(shù))則有初值問題:又設(shè)衛(wèi)星的初速度機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束③代入原方程②,得兩邊積分得利用初始條件③,得因此注意到機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束為使因?yàn)楫?dāng)h=R(在地面上)時(shí),引力=重力,即④代入④即得這說明第二宇宙速度為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)例5.上的力F所作的功與經(jīng)過的時(shí)間t成正比(比例提示:兩邊對(duì)s求導(dǎo)得:牛頓第二定

6、律…系數(shù)為k),開方如何定+–?已知一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng),作用在質(zhì)點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.一鏈條掛在一釘子上,啟動(dòng)時(shí)一端離釘子8m,另一端離釘子12m,如不計(jì)釘子對(duì)鏈條所產(chǎn)生的摩擦力,求鏈條滑下來所需的時(shí)間.解:建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)在時(shí)刻t,鏈條較長一段下垂xm,又設(shè)鏈條線密度為常數(shù)此時(shí)鏈條受力由牛頓第二定律,得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束由初始條件得故定解問題的解為解得當(dāng)x=20m時(shí),(s)微分方程通解:思考:若摩擦力為鏈條1m長的重量,定解問題的數(shù)學(xué)模型是什么?機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束摩擦力為鏈條

7、1m長的重量時(shí)的數(shù)學(xué)模型為不考慮摩擦力時(shí)的數(shù)學(xué)模型為此時(shí)鏈條滑下來所需時(shí)間為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束練習(xí)題從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器,按探測(cè)要求,需確定儀器的下沉深度y與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系.設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉,在下沉過程中還受到阻力和浮力作用,設(shè)儀器質(zhì)量為m,體積為B,海水比重為?,儀器所受阻力與下沉速度成正比,比例系數(shù)為k(k>0),試建立y與v所滿足的微分方程,并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=y(v).(95考研)提示:建立坐標(biāo)系如圖.質(zhì)量m體積B由牛頓第二定律重力浮力阻力注意:機(jī)動(dòng)目錄

8、上頁下頁返回結(jié)束初始條件為用分離變量法解上述初值問題得質(zhì)量m體積B作業(yè)P3175,6;P3273(8);4(2),(4)8;*11(1)得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題有特而對(duì)應(yīng)齊次方程有解微分方程的通解.解:故所給二階非齊次方程為方程化為1.設(shè)二階非齊次方程一階線性非齊次方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束故再積分得通解復(fù)習(xí):一階線性微分方程通解公式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.(1)驗(yàn)證函數(shù)滿足微分方程(