高階偏導(dǎo)數(shù)及泰勒公式

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1、§1－7　高階偏導(dǎo)數(shù)及泰勒公式由于它們還是x,y的函數(shù).因此,可繼續(xù)討論一、高階偏導(dǎo)數(shù)稱為z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).類似,可得三階,四階,…,n階偏導(dǎo)數(shù).例1.解:若不是,那么滿足什么條件時,二階混合偏導(dǎo)數(shù)才相等呢?問題:是否任何函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)都相等?若z=f(X)=f(x,y)的兩個混合偏導(dǎo)數(shù)則定理1分析.按定義f(x0,y0+?y)–f(x0+?x,y0)+f(x0,y0)]同理f(x0+?x,y0)–f(x0,y0+?y)+f(x0,y0)]證:分別給x,y以改變量?x,?y,使(x0+?x,y0+?y),　　(x0+?x,y0)及(x0,

2、y0+?y)均在U(X0)內(nèi).記A=[f(x0+?x,y0+?y)–f(x0+?x,y0)]–[f(x0,y0+?y)–f(x0,y0)]?(x)=f(x,y0+?y)–f(x,y0),有A=?(x0+?x)–?(x0)即?(x)在x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo),故滿足拉格郎日中值定理?xiàng)l件.因A=?(x0+?x)–?(x0),?(x)=f(x,y0+?y)–f(x,y0),A=?'(x0+?1?x)?x再對變量y用拉格朗日中值定理.得另外,A=[f(x0+?x,y0+?y)–f(x0,y0+?y)]–[f(x0+?x,y0)–f(x0,y0)]記?(y)=f(x0+?

3、x,y)–f(x0,y),從而A=?(y0+?y)–?(y0)(由拉格朗日中值定理)故1.定理1的結(jié)果可推廣到更高階的混合偏導(dǎo)的情形.同時可推廣到二元以上的函數(shù)情形.即,若混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),則混合偏導(dǎo)相等(即求混合偏導(dǎo)與求導(dǎo)順序無關(guān)).注2.若多元函數(shù)f(X)在區(qū)域D內(nèi)有(直到)k階連續(xù)偏導(dǎo).則記為f(X)?Ck(D).k為非負(fù)整數(shù).若f(x,y)?Ck(D),則不論求導(dǎo)順序如何,只要是對x求導(dǎo)m次,對y求導(dǎo)k–m次,都可寫成例2.解:比較知a=1,b=0.例3.解:設(shè)u=x+y+z,v=xyz,從而w=f(u,v)是x,y,z,的復(fù)合函數(shù).由鏈?zhǔn)椒▌t.注意

4、：還要用鏈?zhǔn)椒▌t來求.例4.解:例5.解:(1)由隱函數(shù)求導(dǎo)公式從而,(2)上式兩端對x求偏導(dǎo).此時右邊的z看作x的的函數(shù).y要看作常數(shù).有例6.設(shè)方程組解:(1)先求一階偏導(dǎo).注意,u,v看作x,y的函數(shù).得方程兩邊對x求偏導(dǎo).從而,(2)從而,例7.設(shè)u=f(x,y,z),y=x3,?(x2,lny,z)=0.解:u=f(x,x3,z)?(x2,3lnx,z)=0易見z,u均x的函數(shù),方程兩邊對x求導(dǎo)數(shù).得從而和一元函數(shù)一樣,多元函數(shù)也有高階微分的概念.我們只介紹二元函數(shù)的高階微分.若dz還可微,則記d2z=d(dz),稱為z的二階微分.二、高階微分下

5、邊推導(dǎo)z的k階微分的計(jì)算公式.設(shè)以x,y為自變量的函數(shù)z=f(x,y)?Ck.由于x,y為自變量,故dx=?x,dy=?y,與x,y的取值無關(guān).固定?x,?y,,(即將它們看作常數(shù)),求dz的微分.且d2z=d(dz)記引進(jìn)記號.這相當(dāng)于規(guī)定了"將字母z移到括號外"的方法。實(shí)際上，它把C1中的每一個z,通過上述運(yùn)算,映成了dz.若記這個映射為g,則比較兩端式子,可看出,不過是用一個我們陌生的式子來代替字母g而已.即,我們把這個映射稱為一階微分算子.類似,記并規(guī)定:故,二階微分算子實(shí)際上就是一階微分算子g復(fù)合二次.只不過這種復(fù)合運(yùn)算在上述規(guī)定下,可以看作是一

6、階微分算子一般,若形式上規(guī)定.(1)當(dāng)z=f(x,y)?Ck時,z有k階微分.(2)只有把它按上述規(guī)定,展開后,再將各項(xiàng)"乘"以z(即,將z補(bǔ)寫在?k后面),一切記號才回復(fù)到導(dǎo)數(shù)和微分的意義.注(3)它本質(zhì)上是一個映射.它將Ck中的元素z映成dkz.(4)若x,y不是自變量,dkz一般不具有上述形式.§1－8　方向?qū)?shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的變化率.比如,y=f(x),如圖xoyx0x0+?xx0+?x?y?x<0?x>0y=f(x)一、方向?qū)?shù)的概念xoyx0x0+?xx0+?x?y?x<0?x>0y=f(x)表示在x0處沿x軸正方向的變化率.表示在x0處沿

7、x軸負(fù)方向的變化率.又比如,z=f(x,y),偏導(dǎo)數(shù)分別表示函數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)沿x軸方向,沿y軸方向的變化率.如圖xoyzx0(x0,y0)?y表示在(x0,y0)處沿y軸正方向的變化率.表示在(x0,y0)處沿y軸負(fù)方向的變化率.但在許多實(shí)際問題中,常需知道f(X)在X0沿任何方向的變化率.比如,設(shè)f(X)表示某物體內(nèi)部點(diǎn)X處的溫度.那么,這個物體的熱傳導(dǎo)就依賴于溫度沿各方向下降的速度.因此有必要引進(jìn)f(X)在X0沿一給定方向的方向?qū)?shù).把偏導(dǎo)數(shù)概念略加推廣即可得到方向?qū)?shù)的概念.yxzoz=f(x,y)X0M0即f'x(x0,y0)表示y=y0與z

8、=f(x,y)的交線在M0處的切線對x的斜率.T1??1:z=f(