[工學(xué)]數(shù)值方法第二章 非線性方程的近似解法

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1、第二章非線性方程的近似解法第二章非線性方程的近似解法§2.0簡介§2.1二分法（對分法）§2.2簡單迭代法§2.3Newton迭代法§2.0簡介求解非線性方程f(x)=0一、問題困難：方程的解難以用公式表達(dá)。例如:1)多項(xiàng)式方程：需要一定精度的近似解！2)超越方程:方程的解稱為方程的根或稱為的零點(diǎn)。二、概念方程可能有多個(gè)實(shí)根，我們只能逐個(gè)求出來。二、概念設(shè)在區(qū)間[a,b]上方程有一個(gè)根，則稱該區(qū)間為方程的一個(gè)有根區(qū)間。若在區(qū)間[a,b]上方程只有一個(gè)根，則稱該區(qū)間為方程隔根區(qū)間。Remark：若能把有根區(qū)間不斷縮小，則可以得出根的近似值。三、根的隔離基于函數(shù)f(

2、x)的連續(xù)性質(zhì)，常用的根的隔離的方法有：描圖法與逐步搜索法。1、描圖法：畫出y=f(x)的簡圖，從曲線與x軸交點(diǎn)的位置確定出隔根區(qū)間，或者將方程等價(jià)變形為g1(x)=g2(x)，畫出函數(shù)y=g1(x)和y=g2(x)的簡圖，從兩條曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的位置確定隔根區(qū)間。2、逐步搜索法：先確定方程f(x)=0的所有實(shí)根所在區(qū)間[a,b]，再按照選定的步長（n為正整數(shù)），取點(diǎn)xk=a+kh(k=0,1,…,n)，逐步計(jì)算函數(shù)值f(xk)，依據(jù)函數(shù)值異號以及實(shí)根的個(gè)數(shù)確定隔根區(qū)間。必要時(shí)可調(diào)整步長h，總可把隔根區(qū)間全部找出。三、根的隔離三、根的隔離問題：掃描間距？§2.1

3、二分法（對分法）關(guān)于求解算法:算法多樣：比如剛才的逐步搜索法考慮因素：1．穩(wěn)定性；2．收斂性；3．…§2.1二分法（對分法）一、算法設(shè)在[a,b]上連續(xù)，f(a)f(b)<0且在[a,b]內(nèi)f(x)=0僅有一個(gè)實(shí)根。二分法的基本思想是：逐步將有根區(qū)間分半，通過判別函數(shù)值的符號，進(jìn)一步搜索有根區(qū)間，將有根區(qū)間縮小到充分小，從而求出滿足給定精度的根的近似值。執(zhí)行步驟：1．計(jì)算f(x)在有解區(qū)間[a,b]端點(diǎn)處的值，f(a)，f(b)。2．計(jì)算f(x)在區(qū)間中點(diǎn)處的值f(x1)。3．判斷若f(x1)=0，則x1即是根，否則檢驗(yàn)：（1）若f(x1)與f(a)異號，則知解

4、位于區(qū)間[a,x1]，b1=x1,a1=a;（2）若f(x1)與f(a)同號，則知解位于區(qū)間[x1,b]，a1=x1,b1=b。4.反復(fù)執(zhí)行步驟2、3，便可得到一系列有根區(qū)間：(a,b),(a1,b1),…,(ak,bk),…當(dāng)時(shí)則即為方程的近似根二、誤差估計(jì)定理1：給定方程f(x)=0，設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)f(b)<0，則由二分法產(chǎn)生的序列{xk}收斂于方程的根x*，且具有誤差估計(jì)：三、收斂準(zhǔn)則1.事先誤差估計(jì)：利用誤差估計(jì)定理，令得從而得到對分次數(shù)k＋1，取xk＋1作為根得近似值x*。2.事后誤差估計(jì)：給定ε，每步檢查，若成立，則取，

5、否則繼續(xù)對分。Remark2：也可以使用來控制誤差。Remark3：二分法的優(yōu)點(diǎn)是方法及相應(yīng)的程序均簡單，且對f(x)性質(zhì)要求不高，只要連續(xù)即可。但二分法不能用于求復(fù)數(shù)根和偶數(shù)重根，且收斂速度比較慢。因此，一般常用該方法求根的初始近似值，然后再用其它的求根方法精確化。Remark1：由于，故也可以用來控制誤差（最常用）定義f(x)f(a)?f(b)>0f(a)?f(b)=0f(a)=0打印b,k打印a,k結(jié)束是是是否否否m=(a+b)/2

6、a-b

7、0打印m,ka=mb=m結(jié)束k=K+1是是否否輸入k=0算法(二分法)§2.2迭代法即序列的

8、極限為的根。當(dāng)連續(xù)時(shí)，有或。即一、迭代法1.基本思想：令方程,將其變成一個(gè)等價(jià)的方程,構(gòu)造,稱為迭代數(shù)列，或迭代過程。稱為迭代函數(shù),稱為迭代公式因此，我們可以通過求迭代數(shù)列的極限的方法來求得方程f(x)=0的根。Remark：可以通過不同的途徑將f(x)=0化為x=φ(x)的形式，從而構(gòu)造不同的迭代公式，得到不同的迭代序列。在所有這些構(gòu)造的迭代公式中形成的序列中，有的序列是收斂的，而有些是發(fā)散的。問題：如何選取合適的迭代函數(shù)φ(x)？φ(x)應(yīng)滿足什么條件，序列{xk}收斂？怎樣加速序列{xk}的收斂？xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=

9、φ(x)y=φ(x)y=φ(x)y=φ(x)x0p0x1p1?x0p0x1p1?x0p0x1p1?x0p0x1p1?2.迭代法的收斂定理（2）對任意初值x0?[a,b]由迭代公式則有:定理1.（全局收斂定理）設(shè)方程，如果滿足（3）存在常數(shù)0

10、中值定理,有因其中ξ介于