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1、同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系2009-3-22工科研究生數(shù)學(xué)--矩陣論第4章內(nèi)積空間吳群同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系wuqun@#edu.cn4.1實(shí)內(nèi)積空間定義.設(shè)V是一個(gè)實(shí)線性空間，R為實(shí)數(shù)域，2若?a,b?V,存在唯一的r?R與之對應(yīng)，記作(a,b)=r,并且滿足(1)(a,b)=(b,a)(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g)(3)(ka,b)=k(a,b)(4)(a,a)≥0,(a,a)=0?a=0則稱(a,b)為a與b的內(nèi)積，V為實(shí)內(nèi)積空間。實(shí)內(nèi)積空間也稱歐幾里得(Euclid)空間。對稱性線性性非負(fù)性3定義內(nèi)積例.線性空間稱為內(nèi)積空間的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積。4定義內(nèi)積
2、A為n階實(shí)正定矩陣，例.線性空間5定義內(nèi)積例.線性空間C[a,b]，f,g∈C[a,b]6由定義知(5)(a,b+g)=(a,b)+(a,g)(6)(a,kb)=k(a,b)向量長度,Cauchy-Schwarz不等式定義.設(shè)V為實(shí)內(nèi)積空間，稱為向量a的長度，記作
3、
4、a
5、
6、。定理.設(shè)V是實(shí)內(nèi)積空間，a,b?V,k?R，則等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a,b線性相關(guān)；Cauchy-Schwarz不等式三角不等式正定性齊次性8例：利用Cauchy-Schwaz不等式證明向量的夾角由Cauchy-Schwaz不等式可知向量的正交定義.設(shè)V是實(shí)內(nèi)積空間，a,b?V,若(a,b)=0
7、,則稱a與b正交，記作a?b。a與b正交這就是實(shí)內(nèi)積空間中的勾股定理。11向量a與b在該基下的坐標(biāo)為12度量矩陣矩陣A稱為基的度量矩陣。即A為實(shí)對稱矩陣。即A為實(shí)正定矩陣。定理：設(shè)內(nèi)積空間V的兩個(gè)基是：它們的度量矩陣分別為A與B，則A與B是合同的，即存在可逆矩陣P，使得其中可逆矩陣P是由前組基到后組基的過渡矩陣。4.2標(biāo)準(zhǔn)正交基若它們兩兩正交，則稱其為一個(gè)正交向量組。定理：正交向量組必是線性無關(guān)的。16且其中每個(gè)向量的長度都是1，注意：(1)標(biāo)準(zhǔn)正交基的度量矩陣是單位矩陣，即(2)向量在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的坐標(biāo)是該向量在對應(yīng)的基向量上的正投影，即Gram-Schmi
8、dt正交化過程Gram-Schmidt正交化過程：設(shè)是內(nèi)積空間V中線性無關(guān)的向量組，，使得則V中存在正交向量組Gram-Schmidt正交化過程圖解19令是正交向量組，并且則記或注意到K是可逆矩陣，因此是正交向量組下面用歸納法說明由歸納法假設(shè)可知是正交向量組。即矩陣A的QR分解推論1：n維實(shí)內(nèi)積空間V必存在標(biāo)準(zhǔn)正交基。推論2：n維實(shí)內(nèi)積空間V中任一正交向量組都可擴(kuò)充成V的一個(gè)正交基。推論3:設(shè)A為可逆陣，則存在正交陣Q和可逆上三角陣R使得A=QR，稱為矩陣A的QR分解。24設(shè)A為n階可逆陣，則利用Gram-Schmidt正交化過程，2526例:求矩陣A的QR分
9、解，4.3正交子空間定義:設(shè)W,U是實(shí)內(nèi)積空間V的子空間，(1)a?V,若?b?W,都有(a,b)=0,則稱a與W正交，記作a?W;(2)若?a?W,b?U,都有(a,b)=0,則稱W與U正交，記作W?U;(3)若W?U，并且W+U=V,則稱U為W的正交補(bǔ)。注意：若W?U，則W與U的和必是直和。正交補(bǔ)的存在唯一性定理:設(shè)W是實(shí)內(nèi)積空間V的子空間，則W的正交補(bǔ)存在且唯一，記該正交補(bǔ)為，并且向量的正投影定義:設(shè)W是實(shí)內(nèi)積空間V的子空間，則稱向量b為向量a在W上的正投影，稱向量長度
10、
11、g
12、
13、為向量a到W的距離。WdbOag垂線最短定理定理:設(shè)W是實(shí)內(nèi)積空間V的子空間
14、，a?V,b為a在W上的正投影，則?d?W,有并且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)b=d。Wdba4.4正交變換定義:設(shè)T是實(shí)內(nèi)積空間V的線性變換，若?a?V有則稱T為V的正交變換。正交變換的特征刻畫定理:設(shè)T是實(shí)內(nèi)積空間V的線性變換，a,b?V，則下列命題等價(jià)，33推論：(1)兩個(gè)正交變換的積仍是正交變換；(2)正交變換的逆變換仍是正交變換。Householder變換構(gòu)造的正交變換討論正交變換H的幾何意義。故H(a)是a關(guān)于子空間的反射，dagbwO-g矩陣H稱為Householder矩陣，變換H稱為Householder變換，變換H也稱初等反射變換。36求一個(gè)初等反射變換
15、H，使H(a)=b。只需求一個(gè)w使得b是a關(guān)于子空間的反射，于是w與a-b平行，故可取4.5復(fù)內(nèi)積空間定義.設(shè)V是一個(gè)復(fù)線性空間，C為復(fù)數(shù)域，37若?a,b?V,存在唯一的c?C與之對應(yīng)，記作(a,b)=c,并且滿足(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g)(3)(ka,b)=k(a,b)(4)(a,a)≥0,(a,a)=0?a=0則稱(a,b)為a與b的內(nèi)積，V為復(fù)內(nèi)積空間。復(fù)內(nèi)積空間也稱酉空間。對稱性線性性非負(fù)性(1)(a,b)=(b,a)38定義內(nèi)積例.線性空間稱為復(fù)內(nèi)積空間的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積。39在復(fù)內(nèi)積空間中還有(5)(a,b+g)=(a,b)+(a,g)
16、(6)(a,kb)=k(a,b)(8)
