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1、第九章小波理論及小波濾波去噪方法§0引言§9.1從傅里葉變換到小波分析§9.2小波變換第九章小波理論及小波濾波去噪方法目前，信號(hào)處理已經(jīng)變成了當(dāng)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的重要部分。對(duì)新紅進(jìn)行分析或分解是了解和掌握信號(hào)特征和性質(zhì)的基本方法。在信號(hào)分析中，變換就是尋求對(duì)于信號(hào)的另一種表示，使得比較復(fù)雜的、特征不夠明確的信號(hào)在變換后的形式下變得簡(jiǎn)潔和特征明確。信號(hào)有兩類：一類是穩(wěn)定變化的信號(hào)；另一類是具有突變性質(zhì)的、非穩(wěn)定變化的型號(hào)。對(duì)于穩(wěn)定變化的信號(hào)，知識(shí)研究線性不變算子，工程商最常使用的一種變換——傅里葉變換0前言第九
2、章小波理論及小波濾波去噪方法傅里葉變換1807年，傅里葉提出任何函數(shù)都能用一組正余弦函數(shù)的和來表示，其最直接的影響就是再數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域中的應(yīng)用。傅里葉變換是將信號(hào)分解呈不同頻率的數(shù)學(xué)方法。它可以將時(shí)域中某一信號(hào)變換至頻域中，并予以定量認(rèn)識(shí)和分析，還能描述信號(hào)的整體頻譜特征。因此傅里葉變換是眾多科學(xué)領(lǐng)域（特別是信號(hào)處理、圖形處理、量子物理等）里重要的應(yīng)用工具之一。第九章小波理論及小波濾波去噪方法傅里葉變換傅里葉逆變換f(t)表示時(shí)間信號(hào)或函數(shù)，其中t表示時(shí)間域自變量，對(duì)應(yīng)的F（w）表示相應(yīng)環(huán)視或信號(hào)的傅里葉變換
3、，w表示頻域自變量第九章小波理論及小波濾波去噪方法傅里葉變換屬于諧波分析；正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù)，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解。在線性時(shí)不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個(gè)不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來獲取卷積定理指出：傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算，從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段；離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速地算出（其算法稱為快速傅里葉變換算法。傅里葉變換特點(diǎn)第九章小波理論及小波濾波去噪方法§9.1
4、從傅里葉變換到小波分析9.1.1短時(shí)傅里葉變換傅里葉變換能提取出函數(shù)在整個(gè)頻率軸上的頻率信息，卻不能反映信號(hào)在局部時(shí)間范圍內(nèi)的特征。（因?yàn)楦道锶~變換的積分作用平滑了非平穩(wěn)信號(hào)的突變部分）。然而對(duì)于變頻信號(hào)如音樂、地震信號(hào)、雷達(dá)回波等，此時(shí)所關(guān)心的是什么時(shí)刻奏什么音符，發(fā)出什么樣的音節(jié)；對(duì)地震信號(hào)，人們所關(guān)心的是在什么位置出現(xiàn)什么樣的反射波。假設(shè)用傅里葉變換非平穩(wěn)信號(hào)，則不能提供完全的信息，即通過傅里葉變換可以知道信號(hào)所含有的頻率信息，但是無法知道這些頻率信息究竟出現(xiàn)在哪些時(shí)間段上。這樣在信號(hào)分析中面臨一對(duì)最
5、基本的矛盾：時(shí)域和頻域的局部化矛盾。它們的頻域特性都隨時(shí)間而變化。分析它需要提取某一時(shí)間段的頻域信息或某一頻率段所對(duì)應(yīng)的時(shí)間信息實(shí)際采集的地震信號(hào)第九章小波理論及小波濾波去噪方法9.1.1短時(shí)傅里葉變換為了克服傅里葉分析的局限性，使其對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)也能作較好的分析，通過對(duì)信號(hào)在時(shí)域上加一個(gè)窗函數(shù)，使其對(duì)信號(hào)進(jìn)行乘積運(yùn)算以實(shí)現(xiàn)在套附近的開窗和平移，再對(duì)加窗的信號(hào)進(jìn)行傅里葉分析，這就是短時(shí)傅里葉變換（short-timeFouriertransform，簡(jiǎn)稱STFT），或者加窗傅里葉變換。采用高斯函數(shù)作為窗口函數(shù)
6、，其相應(yīng)的傅里葉變換仍舊是高斯函數(shù)，從而使短時(shí)傅里葉變換在時(shí)域和頻域內(nèi)均有局域化功能§9.1從傅里葉變換到小波分析第九章小波理論及小波濾波去噪方法9.1.1短時(shí)傅里葉變換STFT的基本思想是：把信號(hào)劃分成許多小的時(shí)間間隔，用傅里葉變換分析每一個(gè)時(shí)間間隔，以便確定該時(shí)間間隔存在的頻率。其表達(dá)式為其中公式上角“*”表示復(fù)共軛，g(t)是有緊支集的函數(shù)，f(t)為進(jìn)入分析的信號(hào)，在這個(gè)變換中，于傅里葉變換的基函數(shù)前乘上一個(gè)時(shí)間上有限的時(shí)限函數(shù)g(t)（窗函數(shù)），然后將其作為分析工具，這樣e-iwt起頻限作用，g(
7、t)起時(shí)限作用，合在一起起時(shí)頻分析作用?！?.1從傅里葉變換到小波分析第九章小波理論及小波濾波去噪方法其中公式上角“*”表示復(fù)共軛，g(t)是有緊支集的函數(shù)，f(t)為進(jìn)入分析的信號(hào)，在這個(gè)變換中，于傅里葉變換的基函數(shù)前乘上一個(gè)時(shí)間上有限的時(shí)限函數(shù)g(t)（窗函數(shù)），然后將其作為分析工具，這樣e-iwt起頻限作用，g(t)起時(shí)限作用，合在一起起時(shí)頻分析作用。隨著時(shí)間τ的變化，g(t)所確定的“時(shí)間窗”在t軸上移動(dòng)，使f(t)“逐漸”進(jìn)行分析。大致反映了f(t)在時(shí)刻“τ”時(shí)，頻率為“w”的“信號(hào)成分”的相對(duì)
8、含量?！?.1從傅里葉變換到小波分析第九章小波理論及小波濾波去噪方法這樣信號(hào)在窗函數(shù)上的展開就可以表示為在[τ-δ，τ+δ]、[w-ε，w+ε]這一區(qū)域內(nèi)的狀態(tài)，并把這一區(qū)域稱為窗口，δ，ε分別稱為窗口的時(shí)寬和頻寬，表示了時(shí)域分析中的分辨率，窗寬越小則分辨率就越高。很顯然，希望δ，ε都非常小，以便有更好的時(shí)頻分辨效果，但海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理指出δ，ε是互相制約的，兩者不可能同時(shí)都任意小?！?.1從傅里葉變換到小波分析
