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1、無奇異積分的徑向積分邊界單元法高效偉東南大學(xué)工程力學(xué)系，江蘇南京210096Email:xwgao@seu.edu.cn摘要本文提出了一種無奇異積分的邊界單元法。該方法用基于緊支徑向基函數(shù)的形函數(shù)為權(quán)函數(shù)，用加權(quán)余量法建立伽遼金弱形式的邊界－區(qū)域積分方程，并由徑向積分法將區(qū)域積分轉(zhuǎn)換成等效的邊界積分，形成只需要邊界離散的純邊界元算法。本方法兼有邊界單元法和無網(wǎng)格法的主要特點，導(dǎo)出的系統(tǒng)方程的系數(shù)矩陣為帶狀稀疏矩陣，對線性問題、非線性問題以及變系數(shù)問題具有統(tǒng)一的表達(dá)形式，是一種很有發(fā)展?jié)摿Φ姆椒?。關(guān)鍵
2、詞:邊界單元法，無網(wǎng)格法，徑向積分法，奇異積分1引言數(shù)值計算方法已經(jīng)變成工程技術(shù)人員解決大型工程問題的重要工具，現(xiàn)最流行的數(shù)值方法是有限單元法[1],以其強(qiáng)大的解題能力和通用靈活性而普遍被采用。然而隨著其應(yīng)用范圍的不斷擴(kuò)大，固有的一些缺陷也日益突出，如在金屬成形、優(yōu)化設(shè)計、隱藏區(qū)域的識別、滲流問題自由面的確定等移動邊界問題中，基于拉格朗日法的有限元網(wǎng)格可能產(chǎn)生畸變和重疊，嚴(yán)重地影響解的精度。邊界單元法是繼有限單元法后又一種被廣泛應(yīng)用的數(shù)值方法[2]，其主要特點是只需要將問題的邊界離散成單元，因而準(zhǔn)備
3、數(shù)據(jù)簡單、便于復(fù)雜邊界問題的建模[3,4]。此外，邊界單元法在解決上述移動邊界問題中具有突出的優(yōu)勢[5]，計算中移動邊界的位移與原邊界節(jié)點的坐標(biāo)相加就自然形成了新的邊界單元信息[6]，不需要專門重構(gòu)單元，也不會有網(wǎng)格重疊的問題。然而，傳統(tǒng)的邊界單元法存在著固有的弱點：(1)所用基本解導(dǎo)致有奇異積分的出現(xiàn)，數(shù)值計算時需要消除積分奇異性；(2)所形成的系數(shù)矩陣是非對稱滿陣，限制了解題規(guī)模和速度；(3)在解決非均質(zhì)和非線性問題時由于很難求得問題的基本解，因而不得不用對應(yīng)線性問題的基本解來建立非均質(zhì)[7]和
4、非線性[8]問題的積分方程，結(jié)果有區(qū)域積分出現(xiàn)在積分方程中。為了計算區(qū)域積分，傳統(tǒng)的方法是將問題的區(qū)域離散成內(nèi)部網(wǎng)格,用網(wǎng)格積分法來計算區(qū)域積分[9,10]，這種做法消除了邊界單元法只需將邊界離散成單元的特點。正是這些弱點嚴(yán)重地影響了邊界單元法的發(fā)展。鑒于有限元和傳統(tǒng)非線性邊界元需要內(nèi)部網(wǎng)格的缺陷，近年來許多學(xué)者致力于無網(wǎng)格算法的研究[11-13]。純無網(wǎng)格法不需要借助于任何單元，只需要在計算域中布置一系列的離散點即可，因而具有很強(qiáng)的解題靈活性。此外，無網(wǎng)格法通常采用基于緊支基函數(shù)的形函數(shù)[12]，
5、形成的系統(tǒng)方程的系數(shù)矩陣為帶狀稀疏矩陣，占用較小的內(nèi)存空間。然而無網(wǎng)格法還發(fā)展的很不成熟，現(xiàn)提出的十幾種無網(wǎng)格法中存在的缺點和不足表現(xiàn)在:1)缺少堅實的理論基礎(chǔ)和嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明,因此計算精度、守恒性等一直沒有明確的答案;2)需要布置較多的內(nèi)部點,布點方案不僅限制計算規(guī)模而且嚴(yán)重影響計算精度;3)由于沒有邊界單元（或內(nèi)部網(wǎng)格）可以利用，對于具有復(fù)雜幾何邊界條件的移動邊界問題，在迭代計算中重新產(chǎn)生以及自動判斷內(nèi)部、外部還是邊界點時會有困難。為了利用邊界元和無網(wǎng)格法所具有的優(yōu)點,國際上許多學(xué)者致力于無內(nèi)部
6、網(wǎng)格邊界單元法的研究，以便只通過對問題的邊界離散來求解非線性和非均質(zhì)問題。其中最常用的方法是用某種特殊技術(shù)將出現(xiàn)在傳統(tǒng)積分方程中的區(qū)域積分轉(zhuǎn)換成等效的邊界積分，從而避免對內(nèi)部區(qū)域的離散。其中應(yīng)用最廣泛的方法是Brebbia等人提出的雙重互易法（DRM）[14]和多重互易法（MRM）[15]。這類方法的基本思想是利用微分算子的特解，將區(qū)域積分轉(zhuǎn)換成邊界積分。雖然DRM和MRM的應(yīng)用范圍很廣泛，但對于一些復(fù)雜的基函數(shù)和微分算子，求特解是很困難的。此外，如果在同一積分方程中存在有不同核函數(shù)的區(qū)域積分，則很
7、難求得統(tǒng)一的特解，以致該方法無法實施?；谶@種缺陷，高效偉在2002年提出了徑向積分法（RIM）[16,17]。該方法通過首先計算一個徑向積分的途徑，將一個區(qū)域積分轉(zhuǎn)換成邊界積分。眾所周知，著名的高斯散度公式和格林公式只可將含微分算子的區(qū)域積分轉(zhuǎn)換成邊界積分，但RIM是一種建立在純數(shù)學(xué)處理上的方法，不借助任何特解和微分算子，也不需要使用基本解則可將任何一個區(qū)域積分轉(zhuǎn)換成邊界積分。不僅能對二維和三維區(qū)域積分給出統(tǒng)一的轉(zhuǎn)換公式，還可以顯式地消除積分中存在的奇異性[16]。由于基于RIM的徑向積分邊界元算
8、法能夠不需要內(nèi)部網(wǎng)格而有效地求解非線性和非均質(zhì)問題，因此該方法提出后已得到了廣泛的應(yīng)用[18,19]和好評[20,21]。其中，Albuquerque等人[20]用算例對RIM與DRM進(jìn)行了數(shù)值比較，證明了RIM比DRM更精確、更穩(wěn)定；而Hematiyan[21]評論到，雙重互易法(DRM）是用得最多的方法，徑向積分法(RIM)則是最有力的方法。這在一定程度上說明了徑向積分法的發(fā)展?jié)摿?。雖然徑向積分邊界單元法求解非線性和非均質(zhì)問題時不需要內(nèi)部網(wǎng)格，但仍然包含有奇異積分
