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《淺談函數(shù)和方程思想和其應(yīng)用》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、淺談函數(shù)和方程思想和其應(yīng)用摘要：函數(shù)與方程思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是一種十分重要的思想。本文闡述了函數(shù)與方程思想的定義，主要論述了交軌法、判別式法、構(gòu)造函數(shù)與方程法及換元法四種有關(guān)函數(shù)與方程思想的解題方法以及在例題中的應(yīng)用，以供讀者參考。關(guān)鍵詞：函數(shù)；方程；解題方法分類號：G642.4文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1674-9324(2014)02-0102-02AnalysisofFunctionsandEquationIdeologyanditsApplicationXUEWen-jia，PIAOYong-jie*(Dep
2、artmentofmathematics,CollegeofScience,YanbianUniversity,Yanji133002，China)Abstract：Intheprocessoflearningmathematics,functionandequationideologyisanimportantidea..Thepapermainlyillustratesthedefinitionofthefunctionandequation,introducesfoursolutionsoftheprobl
3、emsoffunctionandequation，forinstance，trackintercross,discriminantmethod,theconstructionoffunctionandequation,andsubstitutemethodaswellastheapplicationofthemforreaders.Keywords：function；equation；solutionapproach一、引言函數(shù)與方程思想體現(xiàn)出的是數(shù)學(xué)知識、能力、及其本質(zhì)，同時它也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的學(xué)科特點。函數(shù)與方程
4、思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中是最基本的思想，所以對于中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，十分有必要加強(qiáng)這種思想方法的訓(xùn)練，不斷地提高學(xué)生思維的靈活性。函數(shù)思想即為把問題中的量分化為變量和常量，并把這些量用字母表示出其相互關(guān)系，再利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題；而方程思想是把問題中的量分化為已知量和未知量，并把這些量用字母表示出其關(guān)系，利用方程、不等式的性質(zhì)解決問題。總之一句話，函數(shù)與方程思想就是把數(shù)學(xué)問題都利用函數(shù)與方程去解決問題。二、函數(shù)與方程思想的應(yīng)用在本文，我們將通過四種方法具體闡述函數(shù)與方程思想在解決數(shù)學(xué)問題中的重要應(yīng)用。（一）交軌法交軌法
5、也是方程組法的幾何解釋，在列成的方程組中每一個方程均表示一條軌跡，要求這些軌跡的“交”也就是求方程組的解。利用交軌法的解題步驟一般為先把問題化歸為求一個“點”；再把已知條件分成幾部分，使得每一個條件都形成一個軌跡；最后利用幾何法或代數(shù)法求得軌跡的“交例1:Al，A2是橢圓國+國=1=1的長軸的兩個端點，P1，P2是垂直于Al，A2的弦的兩個端點，則直線A1P1與A2P2交點的軌跡方程。解：設(shè)交點P(X，y)，A1(-3,0)，A2(3,0)，Pl(x0,y0),P2(xO,-y0)Al,Pl,P共線，則有■二■①
6、A2,P2,P共線，則有■=■②①②聯(lián)立，解得x0=^，yO=H代入①得到軌跡方程■-國=1評論：本例題是交軌法在解析幾何中的典型應(yīng)用，動點的約束分為兩部分，即得到①②構(gòu)成的方程組，解開得到的即為交點的軌跡方程。此題也是典型的條件組問題，是高考的重點。(二)判別式法判別式法就是利用方程的系數(shù)來判斷根的情況，在解決問題時，將問題轉(zhuǎn)化為二次方程，再利用判別式法和方程的性質(zhì)解決問題。例2:(1979年高考題)若(z-x)~4(x-y)(y-z)=0,求證：x，y，z成等差數(shù)列。解析：分兩種情況(1)當(dāng)x=y時，由張定條
7、件易得冗二義，因此x=y=z,所以x，y，z成等差數(shù)列。(1)當(dāng)x=^y時，構(gòu)造判別式為A=(z-x)2-4(x-y)(y-z)的一元二次方程：(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0③A=(z-x)2~4(x~y)(y-z)=0,*/方程③有相等的實根tl=t2又直接觀察可知方程③有根t=l/.tl=t2=l由違迗定理得■=tlt2=l，.x-y=y-z,即x，y，z成等差數(shù)列。評論：此題雖是早年的高考題，但其體現(xiàn)出判別式法的本質(zhì)。本題也是構(gòu)造方程的例子，利用△構(gòu)造方程，然后解決問題。需要注意的是二次方程
8、的二次系數(shù)不能為零，故本題應(yīng)分類別解答。(二)構(gòu)造函數(shù)與方程構(gòu)造函數(shù)與方程的思想就是根據(jù)問題給出的條件和結(jié)論所具有的特點，構(gòu)造出條件和結(jié)論的函數(shù)與方程，借助函數(shù)或方程去解決問題。例3:(上海高考)對于函數(shù)f(X)，若存在xO￡R，使f(xO)=x0成立，則稱xO為函數(shù)f(x)的不動點。已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+b~l(a^O)(1)當(dāng)a=l，b=_2時，求函
