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1、方陣的特征根與方陣的相似1.基本概念與基本結(jié)論定義設,.如果存在,,使,稱為的特征根,稱的屬于的特征向量.稱為的特征多項式.設,如果存在,,使,那么稱與在上相似，記為.設是的特征根,且.稱為的屬于的特征子空間,其維數(shù)稱為的幾何重數(shù).作為的根時的重數(shù)叫的代數(shù)重數(shù).設,如果存在可逆陣,使是對角形陣,則稱在上可以對角化.結(jié)論1設,,則(ⅰ)是的特征根是的在復數(shù)域內(nèi)的根；（ⅱ）當是的特征根時，是的屬于的特征向量是齊次線性方程組的在中的非零解向量.結(jié)論2設.且,則對,的系數(shù)等于的一切階主子式之和的倍,即設的個特征根為，則由Vieta定理知……結(jié)論3設,的全體特征根為.則，.特別地,推
2、論設.則可逆的特征根都不等于0.結(jié)論4設,,則(Hamilton-Cayley定理)結(jié)論5，則（?。?(ⅱ)與有相同的跡，則(ⅲ)與有相同的特征根.結(jié)論6設,.若是的特征根,則(ⅰ)的幾何重數(shù)的代數(shù)重數(shù)；(ⅱ)的幾何重數(shù).結(jié)論7設.(ⅰ)在上可對角化存在的個在中的特征向量線性無關(guān)；(ⅱ)在上可對角化的特征根都在內(nèi)，且對于的每一個特征根，的代數(shù)重數(shù)等于的幾何重數(shù).結(jié)論8設,.若是的互不相同的特征根,且的屬于的在中的特征向量線性無關(guān),,則線性無關(guān).推論若上的階方陣有個互不相同的在中的特征根,則在上可以對角化.設.對,如果,那么稱為的化零多項式.把的化零多項式中次數(shù)最低且最高此項
3、系數(shù)為1的非零多項式叫做的最小多項式.結(jié)論9設,(ⅰ)的最小多項式是唯一的；(ⅱ)是的化零多項式能被的最小多項式所整除；(ⅲ)的特征多項式能被的最小多項式所整除;(ⅳ)與有相同的最小多項式；(ⅴ)令的最小多項式是，階子方陣的最小多項式是，，則是的最小公倍式.2特征多項式的降階定理定理設,,,則證當,即時,結(jié)論顯然成立.設,存在階可逆陣與階可逆陣,使.令,為階子方塊,則,相似的矩陣具有相同的特征多項式,故所以定理設,,,則證1)與相似,故兩者的特征多項式相同,所以,即有.2)令，.由1)知,,.注1.和分別是,陣與有相同的非零特征根.2.與有完全相同的特征根,進而;3可逆與有
4、相同的特征多項式.例1可逆,,.證明有一個根是,而其余個根全是.證.與有相同的根,而例2的特征根為和0,0是重的.即令,則,故的特征根為,進而例3求階實對稱陣的全部特征根,并求.解設,則.的特征根故的特征根為還有個0;進而的全體特征根為,還有個,所以例4設階方陣的秩為,,則是的至少重特征根證令,故至少是的重特征根.另證:由特征多項式系數(shù)的意義知,的系數(shù),故,故至少是的重特征根.利用降階定理的證明方法,我們可以完成以下兩例的證明.例5設是秩為的陣,都是陣,且.證明與至少有個公共的特征根0例6設分別是階方陣,階方陣,是秩為的陣,=,證明(ⅰ)當時,與至少有個公共的特征根;(ⅱ)
5、當與的特征多項式互素時,;(ⅲ)當為列滿秩陣時,的特征根全是的特征根證：（i）秩C=r>0,故存在m階可逆陣P，n階可逆陣Q，使.令，。則，，這里與都是r階方陣。由于AC=BC，因此，，，（相似的矩陣具有相同的特征多項式），。因此，的r個根是A與B共同的r個特征根。（ii）用反正法，假設C0，則秩由（i）知A與B的特征多項式有r個公共根，這就說明與有共同的一次因式，因而與在C上不互素，當然與在F上不互素，矛盾。（iii）由（i），這是顯然的。3.“方陣相似于上三角形”及其應用例1設A，則存在可逆陣P，使是上三角形。（主對角線元素是A的全體特征根）證對n用歸納法。當n=1，結(jié)
6、論顯然。設，且結(jié)論對n-1階復方陣成立。下考慮n階復方陣A，設是A的一個特征根，（0）是A的屬于的特征向量，即有。列向量，{}線性無關(guān)，擴充成的一個基，，…，。令=（，，…，），則是可逆陣，由于，，……，，它們可由基，，…，線性表示=…………………=…（，…，）=（，，…，）=（，，…，），=。令（）的右下角的n-1階子方陣為，由歸納假設，存在n-1階可逆陣，使=。令P=，則P是n階可逆陣，且==，其中=（，…，）===例2設n階方陣A的特征根為，，…，，g（x）=，則（i）g（A）的全部特征根為g（），g(),…，g();（ii）對非負整數(shù)m，的全部特征根為，，…；（ii
7、i）對復數(shù)c，cA的全部特征根為，，…，；（iv）若A可逆，則0，i=1，2，…，n，并且的全體特征根為，，…，。（v）當A可逆時，的全體特征根為，，…，。證:存在可逆陣P，使=（i）=====因此，，，…，是的全體特征根。（ii）與（iii）是（i）的簡單推論。（iv）A可逆時，0，，故有=，因此的全部特征根為，，…，.(v)A可逆時，=，=（detA），的全體特征根為，，…，.故由（iiii）知，的全體特征根為，，…，。注：例2的證明中用到了如下結(jié)論①兩個同階上三角形陣R，S的乘積，仍是上三角形陣，且T的主對角
