經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)中一維諧振子

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1、-經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)中的一維諧振子物理與電子信息工程學(xué)院物理學(xué)[摘要]一維諧振動(dòng)是一種最簡(jiǎn)單的振動(dòng)形式，許多復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)都可分析為一維諧振動(dòng)。本文以一維諧振子為研究對(duì)象，首先討論經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)中的一維諧振子的運(yùn)動(dòng)方程和能量特征，然后分析坐標(biāo)表象以及粒子數(shù)表象下的一維諧振子，最后討論經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)中的一維諧振子的區(qū)別與聯(lián)系。[關(guān)鍵詞]諧振子經(jīng)典力學(xué)量子力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程能量分布1前言所謂諧振，在運(yùn)動(dòng)學(xué)中就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。一個(gè)勁度系數(shù)為的輕質(zhì)彈簧的一端固定，另一端固結(jié)一個(gè)可以自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為的物體，就構(gòu)成一

2、個(gè)彈簧振子[1]。該振子是在一個(gè)位置（即平衡位置）附近做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。在這種振動(dòng)形式下，物體受力的大小總是和它偏離平衡位置的距離成正比，并且受力方向總是指向平衡位置。這種情況即為一維諧振子。一維諧振子在應(yīng)用上有很大價(jià)值,因?yàn)榻?jīng)典力學(xué)告訴我們只要選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo),任意粒子體系的微小振動(dòng)都可以認(rèn)為是一些相互獨(dú)立的振子的運(yùn)動(dòng)的集合。普朗克在他的輻射理論中將輻射物質(zhì)的中心當(dāng)作一些諧振子,從而得到和實(shí)驗(yàn)相符合的結(jié)果。在分子光譜中,我們可以把分子的振動(dòng)近似地當(dāng)作諧振子的波函數(shù)。另外在量子場(chǎng)論中電磁場(chǎng)的問題也能歸結(jié)成諧

3、振子的形式。因此在量子力學(xué)中,諧振子問題的地位較經(jīng)典物理中來得重要。應(yīng)用線性諧振子模型可以解決許多量子力學(xué)中的實(shí)際問題。本文將以一維諧振子為研究對(duì)象，首先分別討論經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)中一維諧振子的運(yùn)動(dòng)方程和能量特征，然后討論坐標(biāo)表象以及粒子數(shù)表象下的一維諧振子，最后分析經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)中的一維諧振子的區(qū)別與聯(lián)系并簡(jiǎn)要討論經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)的過渡問題。從而幫助我們更加深入的理解一維諧振子的物理實(shí)質(zhì)，充分認(rèn)識(shí)微觀粒子的波粒二象性。2經(jīng)典力學(xué)中的一維諧振子.---在經(jīng)典力學(xué)中基本方程以牛頓定律為基礎(chǔ)，研究

4、質(zhì)點(diǎn)位移隨時(shí)間變化的規(guī)律，反映質(zhì)點(diǎn)特征的是運(yùn)動(dòng)方程和能量。因此我們可以從運(yùn)動(dòng)方程和能量這兩方面出發(fā)討論一維諧振子的運(yùn)動(dòng)特征。一個(gè)勁度系數(shù)為的輕質(zhì)彈簧的一端固定，另一端固結(jié)一個(gè)可以自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為的物體，就構(gòu)成一個(gè)彈簧振子[1]，如圖2.1。當(dāng)彈簧處于自然長(zhǎng)度時(shí)，物體處于平衡位置，取作坐標(biāo)原點(diǎn)，以表示。沿彈簧長(zhǎng)度方向（取作軸方向）拉動(dòng)物體然后釋放，則物體將在點(diǎn)兩側(cè)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。圖2.1彈簧振子2.1一維諧振子的運(yùn)動(dòng)方程圖2.1中的物體可視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。設(shè)代表質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于平衡位置的位移，則質(zhì)點(diǎn)所受的力，其中為

5、勁度系數(shù)。負(fù)號(hào)表示與位移方向相反，因而總是指向平衡位置。由牛頓第二定律，諧振子的運(yùn)動(dòng)微分方程為：即（2.1.1）這是一個(gè)二階的常系數(shù)線性微分方程。令（2.1.2）即簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的角頻率，由振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)嗦決定。將（2.1.2）式代入（2.1.1）式，則可求出（2.1.1）式的通解：（2.1.3）這就是諧振子的運(yùn)動(dòng)方程[2]。其中M和N是任意常數(shù)，由質(zhì)點(diǎn)的初位置和初速度確定。A是振幅，是初相位。（2.1.3）式表明質(zhì)點(diǎn)應(yīng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)[2]。2.2一維諧振子的能量.---在諧振子問題中，振子的總能量可以反

6、映出振子的運(yùn)動(dòng)特征。因此我們可以從諧振子的動(dòng)能和勢(shì)能出發(fā)，求解諧振子的總能量，進(jìn)而幫助我們分析振子的運(yùn)動(dòng)特征。由（2.1.3）式可知，振子的速度為：振子的動(dòng)能為：由（2.1.2）式，有：（2.2.1）由（2.2.1）式可知，振子的動(dòng)能變化頻率為。振子的勢(shì)能（以平衡位置的勢(shì)能為零）為：即為：（2.2.2）由（2.2.2）式可知，振子的勢(shì)能變化頻率也為。因此，由（2.2.1）式和（2.2.3）式可得，振子的總能量為：（2.2.3）由（2.2.3）式可知：諧振子的總能量不隨時(shí)間改變，即其機(jī)械能守恒[3]。

7、（2.2.3）式還說明：對(duì)于一定的振子（和給定，因而給定），總能量與振幅的平方成正比[3]。振幅不僅給出了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)范圍，而且還反映了振動(dòng)系統(tǒng)總能量的大小，或者說反映了振動(dòng)的強(qiáng)度。3量子力學(xué)中的一維諧振子在量子力學(xué)中，粒子狀態(tài)用波函數(shù)表示，為了描述微觀粒子狀態(tài)隨時(shí)間變化的規(guī)律，就需要找出波函數(shù)所滿足的運(yùn)動(dòng)方程，即薛定諤方程。因此下面將從諧.---振子的哈密頓算符出發(fā)，求解振子的定態(tài)薛定諤方程，進(jìn)而分析量子力學(xué)中一維諧振子的運(yùn)動(dòng)特征。3.1用運(yùn)動(dòng)方程求解的一維諧振子我們可以從諧振子的勢(shì)能函數(shù)出發(fā)，

8、寫出諧振子的哈密頓算符及薛定諤方程，并求諧振子的能量和定態(tài)波函數(shù)的解，進(jìn)而討論能量分布特點(diǎn)。取諧振子的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，并選原點(diǎn)為勢(shì)能的零點(diǎn)，則有。僅考慮一維情況。由于在軸方向分振動(dòng)的諧振子在處的勢(shì)能可以表示為：（3.1.1）勢(shì)能曲線是一條定點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，如圖3.1所示：圖3.1一維諧振子的勢(shì)能一維諧振子的經(jīng)典哈密頓函數(shù)為：設(shè)振子的原子質(zhì)量為，則振子的頻率為：振子的哈密頓算符可以寫為：相應(yīng)的定態(tài)薛定諤方程為：.---（3.1.1）這是一個(gè)二階線性微分方程。如果振