第二學期第三十次課.doc

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1、第二學期第三十次課§4外代數12.4.1域上的線性空間的到域上的線性空間的重交錯映射的定義定義12.9設是數域上的維線性空間，又設也是上的一個線性空間。從到的一個多線性映射如果滿足如下條件（即第兩個變元取內同一個向量），則稱為一個重交錯映射。12.3.2重交錯映射的三條性質性質1,即交換中兩變元的位置時應改變符號。證明首先證明相鄰兩個變元時函數值反號。按交錯映射的定義，有移項后即得對于交換（設）兩個變元的情況，可由逐次交換相鄰兩變元位置次來實現(xiàn)。每次交換函數值都變號，共變號奇數次，故最后兩個函數值反號。性質2如果中兩個變元取中同一向量，則其函數值為零。證明設中，則交換，位置

2、時函數值應反號，但此時函數值實際上未變化，故必為零。性質3當時，重交錯映射證明時，取中一組基，運用性質2即可得證。12.3.3用坐標計算重交錯映射的像的公式約定命，以表示的一個包含個元素的子集。對每一個子集，我們約定按自然數的大小排列其次序：。對上的一個矩陣，取得第列所組成的矩陣記作，又用表示其行列式。按照這個約定，根據多線性映射和交錯線性映射的性質、行列式的性質，我們可以得到下面這個命題：命題設是數域上的維線性空間，是它的一組基。又設是到上線性空間的一個重交錯映射。對于內任意個向量，設，而。則，其中和號是對所有可能的個子集求和。12.3.4外積的定義現(xiàn)在我們來指出，對每個

3、正整數，重交錯映射都存在。為此，取一個上的維線性空間，記為。在內取定一組基，并且把每個子集對應于一個基向量。對于內任意個向量，設我們定義到的映射如下：（*）可以驗證（*）式所定義的映射是到的重交錯映射。定義12.10對任意，由（*）式定義的稱為這個向量的外積，記作。12.3.5外積的泛性質（與張量積的定義性質類似）命題設是內任一組基，則讓取遍的所有個元素的子集時，集合組成的一組基。證明設，則由于是的一組基，而中向量個數為故它是的一組基。外積具有一個類似與張量積的重要性質。定理設是從到上線性空間的一個交錯映射，則存在到的唯一線性映射，使下圖交換：證明若，則={0}，又為零映射

4、，故結論顯然成立。下面設。對于內取定的一組基。已知組成的一組基，且。所以我們只要定義在這組基下的像就可以了。命（*）對任意，設我們有這說明，即命題中的圖可交換。反之，任何滿足命題要求的映射在的基處的作用要滿足（*），而線性映射有它在一組基處的作用為一決定，故是唯一的。12.3.6外代數中乘法的定義定義12.11此乘法定義的合理性可見書上的命題4.5。