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時間:2018-12-14
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1、第二學期第三十次課§4外代數12.4.1域上的線性空間的到域上的線性空間的重交錯映射的定義定義12.9設是數域上的維線性空間,又設也是上的一個線性空間。從到的一個多線性映射如果滿足如下條件(即第兩個變元取內同一個向量),則稱為一個重交錯映射。12.3.2重交錯映射的三條性質性質1,即交換中兩變元的位置時應改變符號。證明首先證明相鄰兩個變元時函數值反號。按交錯映射的定義,有移項后即得對于交換(設)兩個變元的情況,可由逐次交換相鄰兩變元位置次來實現(xiàn)。每次交換函數值都變號,共變號奇數次,故最后兩個函數值反號。性質2如果中兩個變元取中同一向量,則其函數值為零。證明設中,則交換,位置
2、時函數值應反號,但此時函數值實際上未變化,故必為零。性質3當時,重交錯映射證明時,取中一組基,運用性質2即可得證。12.3.3用坐標計算重交錯映射的像的公式約定命,以表示的一個包含個元素的子集。對每一個子集,我們約定按自然數的大小排列其次序:。對上的一個矩陣,取得第列所組成的矩陣記作,又用表示其行列式。按照這個約定,根據多線性映射和交錯線性映射的性質、行列式的性質,我們可以得到下面這個命題:命題設是數域上的維線性空間,是它的一組基。又設是到上線性空間的一個重交錯映射。對于內任意個向量,設,而。則,其中和號是對所有可能的個子集求和。12.3.4外積的定義現(xiàn)在我們來指出,對每個
3、正整數,重交錯映射都存在。為此,取一個上的維線性空間,記為。在內取定一組基,并且把每個子集對應于一個基向量。對于內任意個向量,設我們定義到的映射如下:(*)可以驗證(*)式所定義的映射是到的重交錯映射。定義12.10對任意,由(*)式定義的稱為這個向量的外積,記作。12.3.5外積的泛性質(與張量積的定義性質類似)命題設是內任一組基,則讓取遍的所有個元素的子集時,集合組成的一組基。證明設,則由于是的一組基,而中向量個數為故它是的一組基。外積具有一個類似與張量積的重要性質。定理設是從到上線性空間的一個交錯映射,則存在到的唯一線性映射,使下圖交換:證明若,則={0},又為零映射
4、,故結論顯然成立。下面設。對于內取定的一組基。已知組成的一組基,且。所以我們只要定義在這組基下的像就可以了。命(*)對任意,設我們有這說明,即命題中的圖可交換。反之,任何滿足命題要求的映射在的基處的作用要滿足(*),而線性映射有它在一組基處的作用為一決定,故是唯一的。12.3.6外代數中乘法的定義定義12.11此乘法定義的合理性可見書上的命題4.5。
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