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《談?wù)労瘮?shù)與方程的思想方法 專題輔導(dǎo) 不分版本》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、談?wù)労瘮?shù)與方程的思想方法http://www.DearEDU.com丁勇函數(shù)與方程的思想是指在解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí),構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)與方程,把問題轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)與輔助方程性質(zhì)的思想。下面就結(jié)合2005年的高考試題,說明如何運(yùn)用函數(shù)與方程的思想方法去分析和解決問題。例1.設(shè)不等式對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)m恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍。解析:此問題由于常見的思維定勢(shì),易把它看成關(guān)于x的不等式進(jìn)行分類討論。然而,若變換一個(gè)角度以m為主元,記,則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)(或常數(shù)函數(shù))的值在區(qū)間[-2,2]內(nèi)恒負(fù)時(shí)參數(shù)x應(yīng)該滿足的條件。要使,只要使即從而解得。評(píng)注:本例采用變更主元法,化繁為簡,再巧用函數(shù)圖象
2、的特征(一條線段),解法易懂易做。如何從一個(gè)含有多個(gè)變?cè)臄?shù)學(xué)問題里,選定合適的主變?cè)?,從而揭示其中主要的函?shù)關(guān)系,有時(shí)便成了數(shù)學(xué)問題能否“明朗化”的關(guān)鍵所在。例2.設(shè),且,,求a+b的值。解析:由已知兩式結(jié)構(gòu)的相似性,聯(lián)想到相應(yīng)函數(shù)令,則是奇函數(shù),且是增函數(shù)。這樣,已知是,,得,則有從而,所以。評(píng)注:本例由已知式構(gòu)造函數(shù),再巧用奇偶性和單調(diào)性,解法奇妙。選取變?cè)?,?gòu)造函數(shù)關(guān)系來解決數(shù)學(xué)問題,這是運(yùn)用函數(shù)思想解題的較高層次,只有平時(shí)多加訓(xùn)練并注意積累,才能做到運(yùn)用自如。例3.設(shè),其中,如果當(dāng)時(shí),f(x)有意義,求a的取值范圍。解析:二次函數(shù)及圖象、二次不等式、二次方程三者是緊密聯(lián)系的,
3、許多問題都可以利用它們來解決,只要進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化就可以了??芍?,即當(dāng)時(shí)恒成立。而都是減函數(shù),則在上是增函數(shù)。故當(dāng)x=1時(shí),g(x)取得最大值是,從而得a的取值范圍是。評(píng)注:本例采用分離參數(shù)法,再構(gòu)造函數(shù),使不等式恒成立問題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,方向明確,解法簡捷。在數(shù)學(xué)各分支中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類的問題,利用函數(shù)觀點(diǎn)加以分析,??墒箚栴}變得明了,從而易于找到一種適當(dāng)?shù)慕忸}途徑。這充分體現(xiàn)了方程思想和函數(shù)思想的實(shí)用性和重要性。例4.如果函數(shù)的最大值是4,最小值是-1,求實(shí)數(shù)a、b的值。解析:由y的最大值是4,知存在實(shí)數(shù)x使=4,即方程有實(shí)根,故有又由y的最大值是4,知對(duì)任意
4、實(shí)數(shù)x恒有,即恒成立,故從而有同樣由y的最小值是-1,可得由,可解得。評(píng)注:本例解法中,對(duì)題設(shè)中給出的最值,一方面認(rèn)為是方程的實(shí)數(shù)解,另一方面又認(rèn)為是不等式的恒成立條件。由于對(duì)題設(shè)條件的理解深刻,所以構(gòu)思新穎,證法嚴(yán)謹(jǐn)。例5.△ABC的三邊a,b,c滿足b=8-c,,試確定△ABC的形狀。解析:因?yàn)閎+c=8,,所以b,c是方程的兩實(shí)根,即,所以a=6。從而得b=c=4,因此△ABC是等腰三角形。評(píng)注:構(gòu)建一元二次方程的模型解決數(shù)學(xué)問題,是一種行之有效的手段,其獨(dú)特功能在于充分運(yùn)用構(gòu)建的一元二次方程及根的判別式和求根公式變更命題,從而使問題獲得圓滿解決。例6.設(shè)函數(shù),其中。(1)若f(
5、x)在x=3處取得極值,求常數(shù)a的值;(2)若f(x)在上為增函數(shù),求a的取值范圍。解析:(1)因f(x)在x=3時(shí)取得極值,所以解得a=3經(jīng)檢驗(yàn)知當(dāng)a=3時(shí),x=3為f(x)的極值點(diǎn)。(2)令=0得當(dāng)a<1時(shí),若,則(x)>0,所以f(x)在()和(1,+)上為增函數(shù),故當(dāng)時(shí),在(,0)上為增函數(shù)。當(dāng)時(shí),若,則,所以在(-,1)和(a,+)上為增函數(shù),從而f(x)在(-,0]上也為增函數(shù)。綜上所述,當(dāng)時(shí),f(x)在(-,0)上為增函數(shù)。評(píng)注:三次函數(shù)在求導(dǎo)之后,導(dǎo)函數(shù)成為二次函數(shù),而二次函數(shù)、二次不等式、二次方程三者之間是相互依存的,利用它們可以將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使二次方程的解與函數(shù)的
6、極值相關(guān),二次不等式的解與函數(shù)的單調(diào)性相關(guān)??傊?,函數(shù)與方程涉及的知識(shí)點(diǎn)多、面廣,函數(shù)與方程的思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)中十分重要的一種思想和方法,也是高考中考查的重點(diǎn)。因此,我們要重視和學(xué)會(huì)運(yùn)用這一方法去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題,強(qiáng)化函數(shù)與方程的思想方法的應(yīng)用意識(shí)和基本訓(xùn)練,以適應(yīng)高考新的變化和要求。