談?wù)労瘮?shù)與方程的思想方法 專題輔導(dǎo) 不分版本

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1、談?wù)労瘮?shù)與方程的思想方法http://www.DearEDU.com丁勇函數(shù)與方程的思想是指在解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)與方程，把問題轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)與輔助方程性質(zhì)的思想。下面就結(jié)合2005年的高考試題，說明如何運(yùn)用函數(shù)與方程的思想方法去分析和解決問題。例1.設(shè)不等式對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)m恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。解析：此問題由于常見的思維定勢(shì)，易把它看成關(guān)于x的不等式進(jìn)行分類討論。然而，若變換一個(gè)角度以m為主元，記，則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）的值在區(qū)間[－2，2]內(nèi)恒負(fù)時(shí)參數(shù)x應(yīng)該滿足的條件。要使，只要使即從而解得。評(píng)注：本例采用變更主元法，化繁為簡，再巧用函數(shù)圖象

2、的特征（一條線段），解法易懂易做。如何從一個(gè)含有多個(gè)變?cè)臄?shù)學(xué)問題里，選定合適的主變?cè)?，從而揭示其中主要的函?shù)關(guān)系，有時(shí)便成了數(shù)學(xué)問題能否“明朗化”的關(guān)鍵所在。例2.設(shè)，且，，求a＋b的值。解析：由已知兩式結(jié)構(gòu)的相似性，聯(lián)想到相應(yīng)函數(shù)令，則是奇函數(shù)，且是增函數(shù)。這樣，已知是，，得，則有從而，所以。評(píng)注：本例由已知式構(gòu)造函數(shù)，再巧用奇偶性和單調(diào)性，解法奇妙。選取變?cè)?，?gòu)造函數(shù)關(guān)系來解決數(shù)學(xué)問題，這是運(yùn)用函數(shù)思想解題的較高層次，只有平時(shí)多加訓(xùn)練并注意積累，才能做到運(yùn)用自如。例3.設(shè)，其中，如果當(dāng)時(shí)，f(x)有意義，求a的取值范圍。解析：二次函數(shù)及圖象、二次不等式、二次方程三者是緊密聯(lián)系的，

3、許多問題都可以利用它們來解決，只要進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化就可以了?？芍?，即當(dāng)時(shí)恒成立。而都是減函數(shù)，則在上是增函數(shù)。故當(dāng)x＝1時(shí)，g(x)取得最大值是，從而得a的取值范圍是。評(píng)注：本例采用分離參數(shù)法，再構(gòu)造函數(shù)，使不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，方向明確，解法簡捷。在數(shù)學(xué)各分支中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類的問題，利用函數(shù)觀點(diǎn)加以分析，?？墒箚栴}變得明了，從而易于找到一種適當(dāng)?shù)慕忸}途徑。這充分體現(xiàn)了方程思想和函數(shù)思想的實(shí)用性和重要性。例4.如果函數(shù)的最大值是4，最小值是－1，求實(shí)數(shù)a、b的值。解析：由y的最大值是4，知存在實(shí)數(shù)x使＝4，即方程有實(shí)根，故有又由y的最大值是4，知對(duì)任意

4、實(shí)數(shù)x恒有，即恒成立，故從而有同樣由y的最小值是－1，可得由，可解得。評(píng)注：本例解法中，對(duì)題設(shè)中給出的最值，一方面認(rèn)為是方程的實(shí)數(shù)解，另一方面又認(rèn)為是不等式的恒成立條件。由于對(duì)題設(shè)條件的理解深刻，所以構(gòu)思新穎，證法嚴(yán)謹(jǐn)。例5.△ABC的三邊a，b，c滿足b＝8－c，，試確定△ABC的形狀。解析：因?yàn)閎＋c＝8，，所以b，c是方程的兩實(shí)根，即，所以a＝6。從而得b＝c＝4，因此△ABC是等腰三角形。評(píng)注：構(gòu)建一元二次方程的模型解決數(shù)學(xué)問題，是一種行之有效的手段，其獨(dú)特功能在于充分運(yùn)用構(gòu)建的一元二次方程及根的判別式和求根公式變更命題，從而使問題獲得圓滿解決。例6.設(shè)函數(shù)，其中。（1）若f(

5、x)在x＝3處取得極值，求常數(shù)a的值；（2）若f(x)在上為增函數(shù)，求a的取值范圍。解析：（1）因f(x)在x＝3時(shí)取得極值，所以解得a＝3經(jīng)檢驗(yàn)知當(dāng)a＝3時(shí)，x＝3為f(x)的極值點(diǎn)。（2）令＝0得當(dāng)a＜1時(shí)，若，則（x）＞0，所以f(x)在（）和（1，＋）上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，在（，0）上為增函數(shù)。當(dāng)時(shí)，若，則，所以在（－，1）和（a，＋）上為增函數(shù)，從而f(x)在（－，0]上也為增函數(shù)。綜上所述，當(dāng)時(shí)，f(x)在（－，0）上為增函數(shù)。評(píng)注：三次函數(shù)在求導(dǎo)之后，導(dǎo)函數(shù)成為二次函數(shù)，而二次函數(shù)、二次不等式、二次方程三者之間是相互依存的，利用它們可以將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使二次方程的解與函數(shù)的

6、極值相關(guān)，二次不等式的解與函數(shù)的單調(diào)性相關(guān)?？傊?，函數(shù)與方程涉及的知識(shí)點(diǎn)多、面廣，函數(shù)與方程的思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)中十分重要的一種思想和方法，也是高考中考查的重點(diǎn)。因此，我們要重視和學(xué)會(huì)運(yùn)用這一方法去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題，強(qiáng)化函數(shù)與方程的思想方法的應(yīng)用意識(shí)和基本訓(xùn)練，以適應(yīng)高考新的變化和要求。