八年級數(shù)學下冊 16.1 二次根式式教學案 (新版)滬科版

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1、二次根式1．二次根式的概念(1)一般地，我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式．(2)對于(a≥0)的討論應注意下面的問題：①二次根號“”的根指數(shù)是2，二次根號下的a叫被開方數(shù)，被開方數(shù)可以是數(shù)字，也可以是整式、分式等．②式子只有在條件a≥0時才叫二次根式．即a≥0是為二次根式的前提條件．式子就不是二次根式，但式子是二次根式．③(a≥0)實際上就是非負數(shù)a的算術平方根，既可表示開方運算，也可表示運算的結果．④是二次根式，雖然＝2，但2不是二次根式．因此二次根式指的是某種式子的“外在形態(tài)”．二次根式有兩個要素：一是含有二次根號“”；二是被開方數(shù)可以不只

2、是數(shù)字，但必須是非負的，否則無意義．【例1－1】當a為實數(shù)時，下列各式中哪些是二次根式？，，，，，.分析：因為a為實數(shù)，而

3、a

4、≥0，a2≥0，a2＋1＞0，(a－1)2≥0，所以，，，是二次根式．因為a是實數(shù)時，并不能保證a＋10，a2－1是非負數(shù)，即a＋10，a2－1可能是負數(shù)．如當a＜－10時，a＋10＜0；又如當0＜a＜1時，a2－1＜0，因此，，不是二次根式．解：，，，是二次根式．【例1－2】x是怎樣的實數(shù)時，式子在實數(shù)范圍內有意義？分析：問題實質上是問當x是怎樣的實數(shù)時，x－3是非負數(shù)，式子有意義．解：由二次根式的定義可知被開方式x－3≥

5、0，即x≥3，就是說當x≥3時，式子在實數(shù)范圍內有意義．2．二次根式的性質(1)(a≥0)是一個非負數(shù)(a≥0)既是二次根式，又是非負數(shù)的算術平方根，所以它一定是非負數(shù)，即≥0(a≥0)，我們把這個性質叫做二次根式的非負性．【例2－1】若＋(b－2)2＝0，則ab的值是__________．解析：由題意可知＝0，(b－2)2＝0，所以a＋3＝0，b－2＝0，則a＝－3，b＝2.所以ab＝(－3)2＝9.答案：9(2)()2＝a(a≥0)由于(a≥0)是一個非負數(shù)，表示非負數(shù)a的算術平方根，因此通過算術平方根的定義，將非負數(shù)a的算術平方根平方，就等于它

6、本身，即()2＝a(a≥0)．【例2－2】化簡：①()2＝__________；②()2(x≥3)＝__________.解析：①直接利用公式()2＝a(a≥0)，可得()2＝；②因為x≥3，所以x－3≥0，所以由公式()2＝a(a≥0)，可得()2＝x－3(x≥3)．答案：①?、趚－3(3)＝

7、a

8、＝由算術平方根的定義，可得＝

9、a

10、＝＝a(a≥0)表示非負數(shù)a的平方的算術平方根等于a.【例2－3】計算：(1)；(2)(a＜3)；(3)(x＜)．解析：錯解正解(1)＝－1.5；(2)＝a－3；(3)＝2x－3.(1)＝

11、－1.5

12、＝1.5；(2)＝

13、

14、a－3

15、＝3－a(a＜3)；(3)＝

16、2x－3

17、＝3－2x(x＜)．錯因剖析：本題對性質()2＝a(a≥0)與＝

18、a

19、應用混淆，需特別注意被開方數(shù)是非負數(shù)時，＝a(a≥0).思路分析：根據(jù)＝

20、a

21、，首先去掉根號，然后利用絕對值的定義求解.(1)()2＝a的前提條件是a≥0；而＝

22、a

23、中的a為一切實數(shù)．(2)(a≥0)，

24、a

25、，a2是三個重要的非負數(shù)，即(a≥0)≥0，

26、a

27、≥0，a2≥0，在解題時應用較多．(3)＝()2成立的條件是a≥0，否則不成立．(4)()2＝a(a≥0)可以逆用，即任意的一個非負數(shù)都可以寫成它的算術平方根的平方形式．(5)在利

28、用進行化簡時，要先得出

29、a

30、，再根據(jù)絕對值的性質進行化簡，一定要弄清被開方數(shù)的底數(shù)是正還是負，這是容易出錯的地方．3．求二次根式中被開方數(shù)字母的取值范圍由二次根式的意義可知，a的取值范圍是：a≥0.即當a≥0時，有意義，是二次根式；當a＜0時，無意義，不是二次根式．(1)確定形如的式子中的被開方數(shù)中的字母取值范圍時，可根據(jù)式子有意義或無意義的條件，列出不等式，然后解不等式即可．(2)當被開方數(shù)是分式時，同時要求分母不等于零．求解此類問題抓住一點，就是由二次根式的定義(a≥0)得被開方數(shù)必須是非負數(shù)，即把問題轉化為解不等式．【例3】當字母取何值時，下列

31、各式為二次根式．(1)；(2)；(3)；(4).分析：必須保證被開方數(shù)是非負數(shù)，以上式子才是二次根式，當分母上有未知數(shù)時，分母不能為0，根據(jù)這些要求列不等式解答即可．解：(1)因為a，b為任意實數(shù)時，都有a2＋b2≥0，所以當a，b為任意實數(shù)時，是二次根式．(2)－3x≥0，x≤0，即當x≤0時，是二次根式．(3)≥0，且x≠0，所以x＞0.當x＞0時，是二次根式．(4)≥0，故x－2≥0且x－2≠0，所以x＞2.當x＞2時，是二次根式．4．二次根式非負性的應用(1)在實數(shù)范圍內，我們知道式子(a≥0)表示非負數(shù)a的算術平方根，它具有雙重非負性：①≥

32、0；②a≥0.運用這兩個簡單的非負性，再結合非負數(shù)的簡單性質“若幾個非負數(shù)的和等于0，則這幾個非負數(shù)都等于0