函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(1)

《函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(1)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。

1、中國易考網(wǎng)（chinakao.cn）-優(yōu)秀的考試資源整合服務(wù)商??！7×24全天候客服熱線：86-22-89761734，89761570，網(wǎng)址：http://www.chinakao.cn教案函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開復(fù)旦大學(xué)陳紀(jì)修金路1．教學(xué)內(nèi)容函數(shù)的冪級(jí)數(shù)（Taylor級(jí)數(shù)）展開是數(shù)學(xué)分析課程中最重要的內(nèi)容之一，也是整個(gè)分析學(xué)中最有力的工具之一。通過講解將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的各種方法，比較它們的優(yōu)缺點(diǎn)，使學(xué)生在充分認(rèn)識(shí)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開的重要性的基礎(chǔ)上，掌握如何針對(duì)不同的函數(shù)選擇最簡單快捷的方法來展開冪級(jí)數(shù)，提高學(xué)生的計(jì)算與運(yùn)算能力。2．指導(dǎo)思想（1）函數(shù)的冪級(jí)數(shù)

2、（Taylor級(jí)數(shù)）展開作為一個(gè)強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，在分析學(xué)中占有舉足輕重的地位。通常的數(shù)學(xué)分析教科書往往注重于講解冪級(jí)數(shù)的理論，而忽視了講解將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的方法，這樣容易造成學(xué)生雖然掌握了冪級(jí)數(shù)的基本理論，但在實(shí)際計(jì)算中，即使對(duì)于一個(gè)很簡單的函數(shù)，在求它的冪級(jí)數(shù)展開時(shí)也會(huì)感到很困難，這種狀況必須加以改變。（2）求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開是每個(gè)數(shù)學(xué)工作者時(shí)時(shí)會(huì)碰到的問題，雖然我們有函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開公式（見下面的（*）式），但一般來說，直接利用（*）式來求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開往往很不方便，因此有必要向?qū)W生介紹一些方便而實(shí)用的冪級(jí)數(shù)展開方法，提高學(xué)生的實(shí)際計(jì)算能力，這

3、也是我們?cè)跀?shù)學(xué)分析課程中推行素質(zhì)教育的一個(gè)不可忽視的環(huán)節(jié)。3.教學(xué)安排首先回顧在講述冪級(jí)數(shù)理論時(shí)已學(xué)過的相關(guān)內(nèi)容：設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某個(gè)鄰域O(x0,r)中能展開冪級(jí)數(shù)，則它的冪級(jí)數(shù)展開就是f(x)在x0的Taylor級(jí)數(shù)：（*）另外我們已得到了以下一些基本的冪級(jí)數(shù)展開式：(1)f(x)=ex=+…,x∈(-∞,+∞)。(2)f(x)=sinx=+…,x∈(-∞,+∞)。(3)f(x)=cosx=+…,x∈(-∞,+∞)。要考試？上易考網(wǎng)！第6頁共6頁中國易考網(wǎng)（chinakao.cn）-優(yōu)秀的考試資源整合服務(wù)商??！7×24全天候客服熱線：86-22

4、-89761734，89761570，網(wǎng)址：http://www.chinakao.cn(4)f(x)=arctanx=+…,x∈[-1,1]。(5)f(x)=ln(1+x)=+…,x∈(-1,1]。(6)，α≠0是任意實(shí)數(shù)。當(dāng)是正整數(shù)m時(shí)，f(x)=(1+x)m=1+mx++…++xm，x∈(-∞,+∞)即它的冪級(jí)數(shù)展開就是二項(xiàng)式展開，只有有限項(xiàng)。當(dāng)不為0和正整數(shù)時(shí)，,其中=,(n=1,2,…)和。設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某個(gè)鄰域O(x0,r)中任意階可導(dǎo)，要求它在O(x0,r)中的冪級(jí)數(shù)展開，一開始就考慮利用公式（*）往往不是明智之舉。下面我們通過具體

5、實(shí)例介紹冪級(jí)數(shù)展開的一些方便而實(shí)用的方法：1．通過各種運(yùn)算與變換，將函數(shù)化成已知冪級(jí)數(shù)展開的函數(shù)的和。例1求在的冪級(jí)數(shù)展開。解利用部分分式得到，再利用（6）式（），得到，例2求在的冪級(jí)數(shù)展開。解，利用（2）式與（3）式，即得到要考試？上易考網(wǎng)！第6頁共6頁中國易考網(wǎng)（chinakao.cn）-優(yōu)秀的考試資源整合服務(wù)商??！7×24全天候客服熱線：86-22-89761734，89761570，網(wǎng)址：http://www.chinakao.cn例2求關(guān)于變量的冪級(jí)數(shù)展開。解令則。利用（5）式，即得到2．對(duì)已知冪級(jí)數(shù)展開的函數(shù)進(jìn)行逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分。例4求在的

6、冪級(jí)數(shù)展開。解由于，利用逐項(xiàng)求導(dǎo)，即可得到例5求f(x)=arcsinx在的冪級(jí)數(shù)展開。解利用(6)式，可知當(dāng)x(-1,1)時(shí)，===1+++…++…，對(duì)等式兩邊從0到x積分，利用冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)可積性與=arcsinx，即得到arcsinx=x+，x∈[-1,1]。其中關(guān)于冪級(jí)數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)x=±1的收斂性，可用Raabe判別法得到。特別，取x=1，我們得到關(guān)于π的一個(gè)級(jí)數(shù)表示：=1+。3．對(duì)形如，的函數(shù)，可分別用Cauchy乘積與“待定系數(shù)法”。設(shè)f(x)的冪級(jí)數(shù)展開為，收斂半徑為R1，g(x)的冪級(jí)數(shù)展開為,收斂半徑為R2，則f(x)g(x)的冪級(jí)數(shù)展開

7、就是它們的Cauchy乘積：f(x)g(x)=()()=,要考試？上易考網(wǎng)！第6頁共6頁中國易考網(wǎng)（chinakao.cn）-優(yōu)秀的考試資源整合服務(wù)商??！7×24全天候客服熱線：86-22-89761734，89761570，網(wǎng)址：http://www.chinakao.cn其中cn=,的收斂半徑min｛R1，R2｝。當(dāng)b0≠0時(shí)，我們可以通過待定系數(shù)法求的冪級(jí)數(shù)展開：設(shè)=,則()()=,分離x的各次冪的系數(shù)，可依次得到b0c0=a0c0=,b0c1+b1c0=a1c1=，b0c2+b1c1+b2c0=a2c2=，……一直繼續(xù)下去，可求得所有的cn。例6

8、求exsinx的冪級(jí)數(shù)展開(到x5)。解exsinx=(+…)()=x++…，由