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1、第六節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程教學(xué)目的：使學(xué)生掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，了解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法教學(xué)重點(diǎn)：二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法教學(xué)過程：一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程:方程y￠￠+py￠+qy=0稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程,其中p、q均為常數(shù).如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解,那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.我們看看,能否適當(dāng)選取r,使y=erx滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程,為此將y=erx代入方程y￠￠+py￠+qy=0得(r2+pr+q)erx=0.由此可見
2、,只要r滿足代數(shù)方程r2+pr+q=0,函數(shù)y=erx就是微分方程的解.特征方程:方程r2+pr+q=0叫做微分方程y￠￠+py￠+qy=0的特征方程.特征方程的兩個(gè)根r1、r2可用公式求出.特征方程的根與通解的關(guān)系:(1)特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根r1、r2時(shí),函數(shù)、是方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.這是因?yàn)?函數(shù)、是方程的解,又不是常數(shù).因此方程的通解為.(2)特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根r1=r2時(shí),函數(shù)、是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.這是因?yàn)?是方程的解,又,所以也是方程的解,且不是常數(shù).因此方程的通解為.(3)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根r1,2=a±ib
3、時(shí),函數(shù)y=e(a+ib)x、y=e(a-ib)x是微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的復(fù)數(shù)形式的解.函數(shù)y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的實(shí)數(shù)形式的解.函數(shù)y1=e(a+ib)x和y2=e(a-ib)x都是方程的解,而由歐拉公式,得y1=e(a+ib)x=eax(cosbx+isinbx),y2=e(a-ib)x=eax(cosbx-isinbx),y1+y2=2eaxcosbx,,y1-y2=2ieaxsinbx,.故eaxcosbx、y2=eaxsinbx也是方程解.可以驗(yàn)證,y1=eaxcosbx、y2=eaxsinbx是方程的線性無(wú)關(guān)
4、解.因此方程的通解為y=eax(C1cosbx+C2sinbx).求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y￠￠+py￠+qy=0的通解的步驟為:第一步寫出微分方程的特征方程r2+pr+q=0第二步求出特征方程的兩個(gè)根r1、r2.第三步根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情況,寫出微分方程的通解.例1求微分方程y￠￠-2y￠-3y=0的通解.解所給微分方程的特征方程為r2-2r-3=0,即(r+1)(r-3)=0.其根r1=-1,r2=3是兩個(gè)不相等的實(shí)根,因此所求通解為y=C1e-x+C2e3x.例2求方程y￠￠+2y￠+y=0滿足初始條件y
5、x=0=4、y￠
6、x=0=-2的特解.解所
7、給方程的特征方程為r2+2r+1=0,即(r+1)2=0.其根r1=r2=-1是兩個(gè)相等的實(shí)根,因此所給微分方程的通解為y=(C1+C2x)e-x.將條件y
8、x=0=4代入通解,得C1=4,從而y=(4+C2x)e-x.將上式對(duì)x求導(dǎo),得y￠=(C2-4-C2x)e-x.再把條件y￠
9、x=0=-2代入上式,得C2=2.于是所求特解為x=(4+2x)e-x.例3求微分方程y￠￠-2y￠+5y=0的通解.解所給方程的特征方程為r2-2r+5=0.特征方程的根為r1=1+2i,r2=1-2i,是一對(duì)共軛復(fù)根,因此所求通解為y=ex(C1cos2x+C2sin2x).n階常
10、系數(shù)齊次線性微分方程:方程y(n)+p1y(n-1)+p2y(n-2)+×××+pn-1y￠+pny=0,稱為n階常系數(shù)齊次線性微分方程,其中p1,p2,×××,pn-1,pn都是常數(shù).二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推廣到n階常系數(shù)齊次線性微分方程上去.引入微分算子D,及微分算子的n次多項(xiàng)式:L(D)=Dn+p1Dn-1+p2Dn-2+×××+pn-1D+pn,則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作(Dn+p1Dn-1+p2Dn-2+×××+pn-1D+pn)y=0或L(D)y=0.注:D叫做微分算子D0y=y,Dy=y￠,D2y=y￠￠,D
11、3y=y￠￠￠,×××,Dny=y(n).分析:令y=erx,則L(D)y=L(D)erx=(rn+p1rn-1+p2rn-2+×××+pn-1r+pn)erx=L(r)erx.因此如果r是多項(xiàng)式L(r)的根,則y=erx是微分方程L(D)y=0的解.n階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程:L(r)=rn+p1rn-1+p2rn-2+×××+pn-1r+pn=0稱為微分方程L(D)y=0的特征方程.特征方程的根與通解中項(xiàng)的對(duì)應(yīng):單實(shí)根r對(duì)應(yīng)于一項(xiàng):Cerx;一對(duì)單復(fù)根r1,2=a±ib對(duì)應(yīng)于兩項(xiàng):eax(C1cosbx+C2sinbx);k重實(shí)根r對(duì)應(yīng)于k項(xiàng):er
