考研數(shù)學(xué)多項(xiàng)式長(zhǎng)除的方法與應(yīng)用

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1、多項(xiàng)式長(zhǎng)除法及其應(yīng)用多項(xiàng)式長(zhǎng)除是數(shù)學(xué)計(jì)算和證明中經(jīng)常用到的一種計(jì)算方法，由于在中學(xué)和大學(xué)的課本中都沒有提到過（也許是寫書的人認(rèn)為太簡(jiǎn)單，所以略過了），所以很多人沒有聽說過這種方法。實(shí)際上在很多題型中使用這種方法都能使計(jì)算簡(jiǎn)單、題意明朗。在這篇文章中我把這種方法和在復(fù)習(xí)中遇到的各種可以應(yīng)用這種方法的題型分享給大家，算是“羊年大吉”對(duì)okhere的一點(diǎn)點(diǎn)回報(bào)吧。一、多項(xiàng)式長(zhǎng)除法簡(jiǎn)單的說，多項(xiàng)式長(zhǎng)除就是式子與式子做除法，舉一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子：，這個(gè)式子我們?cè)缭诔踔芯鸵呀?jīng)熟識(shí)了。當(dāng)時(shí)我們稱之為因式分解。如果把這個(gè)式子用另一種形式來表示：，這時(shí)就可

2、以稱之為多項(xiàng)式的除法。那么等號(hào)右邊的式子是怎樣除得的呢。請(qǐng)看下面的過程：(1)大家會(huì)發(fā)現(xiàn)這跟數(shù)與數(shù)的除法是很相似的。需要注意的是被除式和除式都要按一定次序排列（降冪或升冪）。這里暫不對(duì)上面的過程做太多說明。在后面的例題中，每設(shè)計(jì)到多項(xiàng)式的除法，都會(huì)給出過程，以便大家能夠真正的理解這種方法。二、方法的應(yīng)用多項(xiàng)式長(zhǎng)除在很多題型中都能應(yīng)用。例如積分、求導(dǎo)、求解微分方程、線形代數(shù)中的求逆等。下面針對(duì)不同的題型各舉一些例題。1、有理函數(shù)積分中的應(yīng)用：舉一個(gè)例子：(此題是一位網(wǎng)友發(fā)的帖)解：設(shè),則原式=做到這里，有兩種方法可以處理：（1）將因式分解

3、：=這時(shí)就得到了t+1這個(gè)式子，可以同分子約去，剩余的部分乘開直接積分。（2）多項(xiàng)式長(zhǎng)除法：這種方法可以直接計(jì)算多項(xiàng)式的除法，不需要任何的技巧，只要你會(huì)加、減、乘、除就夠了，過程如下：（a）先把分子、分母按降冪排好序；（b）以最高次冪為準(zhǔn)，依次試商。例如分母的最高次冪是8，分子的最高次冪是1，此時(shí)就應(yīng)當(dāng)試商；（c）依次試商，直到余數(shù)的最高次冪小于分子的最高次冪。此題恰好能除盡。所以=。然后直接積分求得結(jié)果。計(jì)算式子雖然看起來有些長(zhǎng)，但實(shí)際上計(jì)算起來是很簡(jiǎn)單的。做題時(shí)可以依據(jù)個(gè)人的習(xí)慣，如果始終認(rèn)為這種方法不如頭一種方法簡(jiǎn)單，那么就用頭一

4、種方法。我只是為大家提供一種新的解題思路。再舉一個(gè)不能除盡的例子：（此題摘自03年陳文燈輔導(dǎo)書P82例3.18（1））解：設(shè)，則原式=這道題是除不盡的，根據(jù)上面的過程所以原式=,后略。2、在求高階導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用在上面的例題中大家可能會(huì)認(rèn)為這種方法可會(huì)可不會(huì)。那么看完下面這道題也許你就不會(huì)這么認(rèn)為了。例：，求。（此題摘自03年陳文燈輔導(dǎo)書P61例2.29）解：所以這個(gè)式子如果不會(huì)多項(xiàng)式除法，單憑想是比較困難的。那么后面的計(jì)算就比較簡(jiǎn)單了，略。在這里需要注意的一點(diǎn)是：除式是按升冪排序的。那么到底什么時(shí)候升冪，什么時(shí)候降冪呢？這要具體情況具體分

5、析。這道題如果要按降冪排列，求得的商中就都是分式，而題目中給的是求時(shí)的n階導(dǎo)數(shù)，很顯然這樣做是沒意義的。3、在求解微分方程中的應(yīng)用：曾經(jīng)有很多老師認(rèn)為解微分方程在高等數(shù)學(xué)中算是比較簡(jiǎn)單的一部分，因?yàn)橹灰惆压奖诚聛?，再多做些題，基本上這部分就沒有問題了。但是也許大家都注意到了，二階以上線性微分方程的公式是很煩瑣的。在論壇上也經(jīng)常遇到網(wǎng)友訴苦，認(rèn)為這部分的題解起來很繁，詢問有沒有更簡(jiǎn)單、快捷的方法。實(shí)際上在陳文燈的書中就介紹了一種很好的方法——微分算子法。這種方法很神奇，神奇到了有人懷疑它存在的真實(shí)性，說“陳文燈是在虛張聲勢(shì)”。其實(shí)面對(duì)

6、這種方法我們?cè)?jīng)最大的障礙就是不會(huì)多項(xiàng)式的長(zhǎng)除法，因此看不懂書上的關(guān)鍵步驟。在這里不對(duì)算子法過多的敘述，只舉一些例題說明多項(xiàng)式長(zhǎng)除在解微分算子法中的應(yīng)用。算子法具體怎么用，大家可以參閱陳文燈的輔導(dǎo)書（常微分方程部分——高階線性微分方程）。算子法中D表示求導(dǎo)，表示積分。這樣一來所有的微分方程就可以表示成D乘y的形式例如：，就可以表示成：想求y只需要把D的多項(xiàng)式除到右邊計(jì)算就可以了。但此時(shí)求的y是特解，不是通解，與齊次解合并就是原方程的通解。例：（此題摘自03年陳文燈輔導(dǎo)書P1706.16（3））解：特征方程為：對(duì)應(yīng)齊次方程通解為：非齊次方

7、程特解為：用多項(xiàng)式除法求，過程如下：所以所以這種方法最大的優(yōu)點(diǎn)就是幾乎不用記公式，計(jì)算也不是很煩。