《拉格朗日乘數(shù)法》word版

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1、§4條件極值(一)教學(xué)目的：了解拉格朗日乘數(shù)法，學(xué)會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值．(二)教學(xué)內(nèi)容：條件極值；拉格朗日乘數(shù)法．基本要求：(1)了解拉格朗日乘數(shù)法的證明，掌握用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值的方法．(2)較高要求：用條件極值的方法證明或構(gòu)造不等式．(三)教學(xué)建議：(1)本節(jié)的重點(diǎn)是用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值．要求學(xué)生熟練掌握．(2)多個(gè)條件的的條件極值問(wèn)題，計(jì)算量較大，可布置少量習(xí)題．(3)在解決很多問(wèn)題中，用條件極值的方法證明或構(gòu)造不等式，是個(gè)好方法．可推薦給較好學(xué)生．在許多極值問(wèn)題中，函數(shù)的自變量往往要受到一些條件的限制，比如，要設(shè)

2、計(jì)一個(gè)容積為的長(zhǎng)方體形開口水箱，確定長(zhǎng)、寬和高,使水箱的表面積最小.設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為，則水箱容積焊制水箱用去的鋼板面積為這實(shí)際上是求函數(shù)在限制下的最小值問(wèn)題。這類附有條件限制的極值問(wèn)題稱為條件極值問(wèn)題，其一般形式是在條件限制下，求函數(shù)的極值條件極值與無(wú)條件極值的區(qū)別條件極值是限制在一個(gè)子流形上的極值，條件極值存在時(shí)無(wú)條件極值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。例如，求馬鞍面被平面平面所截的曲線上的最低點(diǎn)。請(qǐng)看這個(gè)問(wèn)題的幾何圖形（x31馬鞍面）從其幾何圖形可以看出整個(gè)馬鞍面沒(méi)有極值點(diǎn)，但限制在馬鞍面被平面平面所截的曲線上，有極小值1

3、，這個(gè)極小值就稱為條件極值。二.條件極值點(diǎn)的必要條件設(shè)在約束條件之下求函數(shù)的極值.當(dāng)滿足約束條件的點(diǎn)是函數(shù)的條件極值點(diǎn),且在該點(diǎn)函數(shù)滿足隱函數(shù)存在條件時(shí),由方程決定隱函數(shù),于是點(diǎn)就是一元函數(shù)的極限點(diǎn),有.代入,就有,(以下、、、均表示相應(yīng)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)的值.)即—,亦即(,),).可見向量(,)與向量,)正交.注意到向量,)也與向量,)正交,即得向量(,)與向量,)線性相關(guān),即存在實(shí)數(shù),使(,)+,).亦即Lagrange乘數(shù)法:由上述討論可見,函數(shù)在約束條件之下的條件極值點(diǎn)應(yīng)是方程組的解.引進(jìn)所謂Lagrange函數(shù),(稱其中的實(shí)數(shù)為L(zhǎng)agr

4、ange乘數(shù))則上述方程組即為方程組因此，解決條件極值通常有兩種方法1）直接的方法是從方程組（１）中解出并將其表示為代入消去成為變量為的函數(shù)將問(wèn)題化為函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題；2）在一般情形下，要從方程組（1）中解出來(lái)是困難的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。通常采用的拉格朗日乘數(shù)法，是免去解方程組（1）的困難，將求的條件極值問(wèn)題化為求下面拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)問(wèn)題，然后根據(jù)所討論的實(shí)際問(wèn)題的特性判斷出哪些穩(wěn)定點(diǎn)是所求的極值的。一.用Lagrange乘數(shù)法解應(yīng)用問(wèn)題舉例:例1拋物面被平面截成一個(gè)橢圓.求該橢圓到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)和最短

5、距離.例3求函數(shù)在條件下的極小值.并證明不等式,其中為任意正常數(shù).現(xiàn)在就以上面水箱設(shè)計(jì)為例，看一看拉格朗日乘數(shù)法求解條件極值的過(guò)程解：這個(gè)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)在條件下的最小值問(wèn)題，應(yīng)用拉格朗日乘法，令L='2*(x*z+y*z)+x*y+v*(x*y*z-V)';dLdx=diff(L,'x')dLdy=diff(L,'y')dLdz=diff(L,'z')dLdv=diff(L,'v')dLdx=2*z+y+v*y*zdLdy=2*z+x+v*x*zdLdz=2*x+2*y+v*x*ydLdv=x*y*z-V令Ｌ的各偏導(dǎo)等零，解方程組求穩(wěn)定

6、點(diǎn)s1='2*z+y+v*y*z';s2='2*z+x+v*x*z';s3='2*x+2*y+v*x*y';s4='x*y*z-V';[v,x0,y0,z0]=solve(s1,s2,s3,s4)v=[-2*2^(2/3)/V^(1/3)][-8*(-1/4*2^(1/3)*V^(1/3)+1/4*i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1/3))^2/V][-8*(-1/4*2^(1/3)*V^(1/3)-1/4*i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1/3))^2/V]x0=[2^(1/3)*V^(1/3)]y0=[2^(1/3)

7、*V^(1/3)]z0=[1/2*2^(1/3)*V^(1/3)]這里顯然只有實(shí)數(shù)解才有意義，所以Ｌ的穩(wěn)定點(diǎn)只有下面一個(gè)又已知所求的問(wèn)題確實(shí)存在最小值，從而解出的穩(wěn)定點(diǎn)就是最小值點(diǎn)，即水箱長(zhǎng)寬與為高的２倍時(shí)用鋼板最省。下面再看一個(gè)條件極值求解問(wèn)題例2拋物面被平面截成一個(gè)橢圓，求這個(gè)橢圓到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)最短距離。(x73)解這個(gè)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)在條件與下的最大、最小值問(wèn)題，應(yīng)用拉格朗日乘法，令L='x^2+y^2+z^2+v*(x^2+y^2-z)+h*(x+y+z-1)';dLdx=diff(L,'x')dLdy=diff(L,'y')d

8、Ldz=diff(L,'z')dLdv=diff(L,'v')dLdh=diff(L,'h')dLdx=2*x+2*v*x+hdLdy=2*y+2*v*y+hdLdz=2*z-v