試題分析詳解和評(píng)注

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1、2004年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試題及答案一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）（1）曲線y=lnx上與直線垂直的切線方程為.【分析】本題為基礎(chǔ)題型，相當(dāng)于已知切線的斜率為1，由曲線y=lnx的導(dǎo)數(shù)為1可確定切點(diǎn)的坐標(biāo)?！驹斀狻坑桑脁=1,可見切點(diǎn)為，于是所求的切線方程為，即.【評(píng)注】本題也可先設(shè)切點(diǎn)為，曲線y=lnx過此切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為，得，由此可知所求切線方程為，即.（2）已知，且f(1)=0,則f(x)=.【分析】先求出的表達(dá)式，再積分即可?！驹斀狻苛睿瑒t，于是有，即積分得.利用初始條件f(1)=0,得C=0，

2、故所求函數(shù)為f(x)=.（3）設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線積分的值為.【分析】利用極坐標(biāo)將曲線用參數(shù)方程表示，相應(yīng)曲線積分可化為定積分。【詳解】正向圓周在第一象限中的部分，可表示為于是=（4）歐拉方程的通解為.【分析】歐拉方程的求解有固定方法，作變量代換化為常系數(shù)線性齊次微分方程即可?！驹斀狻苛睿瑒t，，14代入原方程，整理得，解此方程，得通解為【評(píng)注】本題屬基礎(chǔ)題型，也可直接套用公式，令，則歐拉方程，可化為（5）設(shè)矩陣，矩陣B滿足，其中為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則.【分析】可先用公式進(jìn)行化簡【詳解】已知等式兩邊同時(shí)右乘A，得，而，于是有，即，再兩邊

3、取行列式，有，而，故所求行列式為（6）設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則=.【分析】已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布，求其滿足一定條件的概率，轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算即可?！驹斀狻坑深}設(shè)，知，于是==二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（7）把時(shí)的無窮小量，使排在后面的是前一個(gè)的高階無窮小，則正確的排列次序是14(A).(B).(C).(D).[B]【分析】先兩兩進(jìn)行比較，再排出次序即可.【詳解】，可排除(C),(D)選項(xiàng)，又=，可見是比低階的無窮小量，故應(yīng)選(B).（8）設(shè)函數(shù)f

4、(x)連續(xù)，且則存在，使得(A)f(x)在（0，內(nèi)單調(diào)增加.（B）f(x)在內(nèi)單調(diào)減少.(C)對(duì)任意的有f(x)>f(0).(D)對(duì)任意的有f(x)>f(0).[C]【分析】函數(shù)f(x)只在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)大于零，一般不能推導(dǎo)出單調(diào)性，因此可排除(A),(B)選項(xiàng)，再利用導(dǎo)數(shù)的定義及極限的保號(hào)性進(jìn)行分析即可?！驹斀狻坑蓪?dǎo)數(shù)的定義，知，根據(jù)保號(hào)性，知存在，當(dāng)時(shí)，有即當(dāng)時(shí)，f(x)f(0).故應(yīng)選(C).（9）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是(A)若=0，則級(jí)數(shù)收斂.（B）若存在非零常數(shù)，使得，則級(jí)數(shù)發(fā)散.(C)若級(jí)數(shù)收斂，則.(D)若級(jí)數(shù)

5、發(fā)散,則存在非零常數(shù)，使得.[B]【分析】對(duì)于斂散性的判定問題，若不便直接推證，往往可用反例通過排除法找到正確選項(xiàng).14【詳解】取，則=0，但發(fā)散，排除(A)，(D)；又取，則級(jí)數(shù)收斂，但，排除(C),故應(yīng)選(B).（10）設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，，則等于(A)2f(2).(B)f(2).(C)–f(2).(D)0.[B]【分析】先求導(dǎo)，再代入t=2求即可。關(guān)鍵是求導(dǎo)前應(yīng)先交換積分次序，使得被積函數(shù)中不含有變量t.【詳解】交換積分次序，得=于是，，從而有，故應(yīng)選(B).（11）設(shè)A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B,再把B的第2列加到第3列得C,則滿足AQ=

6、C的可逆矩陣Q為(A).(B).(C).(D).[D]【分析】本題考查初等矩陣的的概念與性質(zhì)，對(duì)A作兩次初等列變換，相當(dāng)于右乘兩個(gè)相應(yīng)的初等矩陣，而Q即為此兩個(gè)初等矩陣的乘積?！驹斀狻坑深}設(shè)，有，，于是，可見，應(yīng)選(D).（12）設(shè)A,B為滿足AB=O的任意兩個(gè)非零矩陣，則必有(A)A的列向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān).(B)A的列向量組線性相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān).(C)A的行向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān).(D)A的行向量組線性相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān).[A]【分析】A,B的行列向量組是否線性相關(guān)，可從A,B是否行（或列）滿秩或Ax=0（Bx

7、=0）是否有非零解進(jìn)行分析討論.【詳解1】設(shè)A為矩陣，B為矩陣，則由AB=O知，14.又A,B為非零矩陣，必有r(A)>0,r(B)>0.可見r(A)

8、的定義進(jìn)行分析，也可通過