緩和曲線逐樁坐標(biāo)計(jì)算

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1、摘要：利用一緩和曲線算例，通過(guò)數(shù)學(xué)分析，推導(dǎo)出緩和曲線逐樁坐標(biāo)計(jì)算公式，此公式可作為道路測(cè)設(shè)中的范例來(lái)運(yùn)用，有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義。關(guān)鍵詞：緩和曲線、公式、逐樁坐標(biāo)一、引言道路建設(shè)中，由于受地形或地質(zhì)影響，經(jīng)常需要改變線路方向，為滿(mǎn)足行車(chē)要求，往往要用曲線把兩條直線連接起來(lái)。曲線的構(gòu)成形式無(wú)外乎圓曲線和緩和曲線，本文以河北省沿海高速某曲線段為例推導(dǎo)出緩和曲線的逐樁坐標(biāo)計(jì)算公式，以方便圖紙的審核，滿(mǎn)足施工放樣的需求。本公式具有良好的操作性，方便施工、提高精度，可作為道路測(cè)設(shè)中的范例運(yùn)用。二、公式推導(dǎo)1、實(shí)例數(shù)據(jù)河北省沿海高速公路一緩和曲線（如圖）：AB段為緩和曲線段，A為ZH點(diǎn)，B為HY點(diǎn)，

2、RB=800m；A點(diǎn)里程為NK0+080，切線方位角為θA=100°00′24.1″，坐標(biāo)為XA=4355189.493,YA=476976.267；B點(diǎn)里程為NK0+158.125，切線方位角為θB=102°48′15.6″，坐標(biāo)為XB=4355174.669，YB=477052.964，推求此曲線段內(nèi)任意點(diǎn)坐標(biāo)。2、公式推導(dǎo)及實(shí)例計(jì)算方法一：弦線偏角法1）公式推導(dǎo)由坐標(biāo)增量的計(jì)算方法我們不難理解，求一點(diǎn)坐標(biāo)可以根據(jù)其所在直線的方位角以及直線上另一點(diǎn)的坐標(biāo)和距待求點(diǎn)的距離。所以我們可以利用ZH點(diǎn)，只要知道待求點(diǎn)距ZH點(diǎn)的距離（弦長(zhǎng)S）和此弦與ZH點(diǎn)切線方位角的夾角（轉(zhuǎn)角a），即可求

3、出該點(diǎn)坐標(biāo)。根據(jù)回旋線方程C=RL，用B點(diǎn)數(shù)據(jù)推導(dǎo)出回旋線參數(shù)：C=RLS=800*78.125=62500（LS為B點(diǎn)至ZH點(diǎn)的距離）設(shè)待求點(diǎn)距ZH點(diǎn)距離為L(zhǎng)因回旋線上任意點(diǎn)的偏角β0=L2/2RLS,且轉(zhuǎn)角a=β0/3，可得該點(diǎn)轉(zhuǎn)角a。（曲線左轉(zhuǎn)時(shí)a代負(fù)值）。根據(jù)緩和曲線上的弧弦關(guān)系S=L-L5/90R2LS2，可以求出待求點(diǎn)至ZH點(diǎn)的弦長(zhǎng)。然后我們利用坐標(biāo)增量計(jì)算公式可以推導(dǎo)出緩和曲線任意點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算公式：X=XA+S*cos（θA+a）=4355189.493+（L-L5/90R2LS2）*cos（θA+L2/6RLS）Y=YA+S*sin（θA+a）=476976.267+（

4、L-L5/90R2LS2）*sin（θA+L2/6RLS）式中θA=100°0′24.1″2）實(shí)例計(jì)算現(xiàn)在我們利用此公式計(jì)算樁號(hào)為NK0+140的坐標(biāo)第一步，求出L=140-80=60米第二步，求出a=180L2/6πRLS=0°33′00.14″第三步，求出S=L-L5/90R2LS2=60-605/（90*8002*78.1252）=59.998第四步：將a，S值代入緩和曲線計(jì)算公式，可求出樁號(hào)為NK0+160點(diǎn)的坐標(biāo)為：X=4355178.501，Y=477035.249。同理，我們可求出其它樁號(hào)的坐標(biāo)。方法二：坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法1）公式推導(dǎo)首先我們建立坐標(biāo)系，以ZH點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，其切

5、線方向?yàn)閄軸，過(guò)該點(diǎn)的半徑方向?yàn)閅軸（如圖）。根據(jù)緩和曲線參數(shù)方程：x=L-L5/40R2LS2；y=L3/6RLS計(jì)算出曲線上各點(diǎn)在此坐標(biāo)系下的坐標(biāo)（x，y）。然后利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式X=XA+xcosa-ysinaY=YA+xsina+ycosa將(x,y)代入該式，即可求出緩和曲線上各點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算公式：X=4355189.493+（L-L5/40R2LS2）cosθA-（L3/6RLS）sinθA；Y=476976.267+（L-L5/40R2LS2）sinθA+（L3/6RLS）cosθA。式中θA=100°0′24.1″2）實(shí)例計(jì)算現(xiàn)利用此公式計(jì)算樁號(hào)為NK0+140的坐標(biāo)。第

6、一步：求出L=140-80=60米第二步：求出該點(diǎn)在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)x=59.995；y=0.576。第三步：將L、x、y的值代入公式可得NK0+140的坐標(biāo)為：X=4355178.501，Y=477035.249。同理可計(jì)算出曲線上其他對(duì)應(yīng)樁號(hào)的坐標(biāo)：NK0+100：X=4355185.997；Y=476995.959。NK0+120：X=4355182.375；Y=477015.628。為提高計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，提高工作效率和減輕計(jì)算的工作量，在實(shí)際應(yīng)用中可以配合電子計(jì)算器使用，以下是CASIO4800P計(jì)算器計(jì)算緩和曲線的公式：Lbl0:{EG}:A“X0”：B“Y0”：C“C0

7、”：D“1/R1”：E“1/R2”：F“DK1”：G“DK2”Lbl1:{HOR}:H“DKi”:O“DL”:R”DR”:H>G＝＞Goto2◣P=（E-D）/Abs(G-F):Q=Abs(H-F):I=P*QJ=C+(I+2*D)*Q*90/π◢M=C+(I/4+2*D)*Q*45/2π:N=C+(3*I/4+2*D)*Q*135/2/π:K=C+(I/2+2*D)*Q*45/πX=A+Q*(cosC+4*(cosM+cosN)+2*cosK+cosJ)