利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)

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1、專題三　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)1．f′(x)>0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增的充分不必要條件．2．f(x)在(a，b)上是增函數(shù)的充要條件是f′(x)≥0，且f′(x)＝0在有限個點(diǎn)處取到．3．對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0并不是f(x)在x＝x0處有極值的充分條件對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，x＝x0是f(x)的極值點(diǎn)，必須具備①f′(x0)＝0，②在x0兩側(cè)，f′(x)的符號為異號．所以f′(x0)＝0只是f(x)在x0處有極值的必要條件，但并不充分．4．如果連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極值點(diǎn)，那么這個極值點(diǎn)就是最值

2、點(diǎn)．在解決實(shí)際問題中經(jīng)常用到這一結(jié)論．1．已知函數(shù)f(x)＝在[1，＋∞)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________．答案　[e，＋∞)解析　f′(x)＝＝，因?yàn)閒(x)在[1，＋∞)上為減函數(shù)，故f′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立．設(shè)φ(x)＝1－lnx，φ(x)max＝1，故lna≥1，a≥e.2．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若對于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，則實(shí)數(shù)a的值為________．答案　4解析　若x＝0，則不論a取何值，f(x)≥0顯然成立；當(dāng)x>0，即x

3、∈(0,1]時，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化為a≥－.設(shè)g(x)＝－，則g′(x)＝，所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此g(x)max＝g＝4，從而a≥4.當(dāng)x<0，即x∈[－1,0)時，同理a≤－.g(x)在區(qū)間[－1,0)上單調(diào)遞增，∴g(x)min＝g(－1)＝4，從而a≤4，綜上可知a＝4.3．若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)＝－x(x＋1)，則函數(shù)g(x)＝f(logax)(0

4、，[0，＋∞)，則f(x)的增區(qū)間為[－1,0]．∵0

5、>0，∴f(x)在[1，e]上是增函數(shù)，故f(x)min＝f(1)＝.題型一　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1　已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)函數(shù)g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函數(shù)g(x)在x∈[－3，2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．解　(1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax－1.當(dāng)x＝時，得a＝f′＝3×2＋2a×－1，解之，得a＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c.則f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x－1)，列表如下：

6、x(－∞，－)－(－，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)極大值極小值所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，－)和(1，＋∞)；f(x)的單調(diào)減區(qū)間是.(3)函數(shù)g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex，有g(shù)′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex＝(－x2－3x＋c－1)ex，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在x∈[－3,2]上單調(diào)遞增，所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范圍是[11，＋∞)．探究提高　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：(1)確定函數(shù)的

7、定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)①若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只需在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解(或證明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知f(x)的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解．設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex－1)－ax2.(1)若a＝，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)x≥0時，f(x)≥0，求a的取值范圍．解　(1)a＝時，f(x)＝x(ex－1)－x2，f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．當(dāng)x∈(－∞，－1)時，f′(x)>0；當(dāng)x∈(－1,0)時，f′(x)<0；當(dāng)x

8、∈(0，＋∞)時，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－1)，(0