小波變換與傅里葉變換

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4、加）。而展開系數(shù)就是基與信號(hào)之間的內(nèi)積，更通俗的說是投影。展開系數(shù)大的，說明信號(hào)和基，是足夠相似的。這也就是相似性檢測(cè)的思想。但我們必須明確的是，傅里葉是0-2pi標(biāo)準(zhǔn)正交基，而小波是-inf到inf之間的基。因此，小波在實(shí)軸上是緊的。而傅里葉的基（正弦或余弦），與此相反。而小波能不能成為Reisz基，或標(biāo)準(zhǔn)穩(wěn)定的正交基，還有其它的限制條件。此外，兩者相似的還有就是PARSEVAL定理。（時(shí)頻能量守恒）。二、二、離散化的處理傅里葉變換，是一種數(shù)學(xué)的精妙描述。但計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，卻是一步步把時(shí)域和頻域離散化而來

5、的。第一步，時(shí)域離散化，我們得到離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT），頻譜被周期化；第二步，再將頻域離散化，我們得到離散周期傅里葉級(jí)數(shù)（DFS），時(shí)域進(jìn)一步被周期化。第三步，考慮到周期離散化的時(shí)域和頻域，我們只取一個(gè)周期研究，也就是眾所周知的離散傅里葉變換（DFT）。這里說一句，DFT是沒有物理意義的，它只是我們研究的需要。借此，計(jì)算機(jī)的處理才成為可能。下面我們談?wù)勑〔āＫ袧M足容許性條件（從-INF到+INF積分為零）的函數(shù)，都可以成為小波。小波作為尺度膨脹和空間移位的一組函數(shù)也就誕生了。但連續(xù)取值的尺度因

6、子和平移因子，在時(shí)域計(jì)算量和頻域的混疊來說，都是極為不便的。用更為專業(yè)的俗語(yǔ)，叫再生核。也就是，對(duì)于任何一個(gè)尺度a和平移因子b的小波，和原信號(hào)內(nèi)積，所得到的小波系數(shù)，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系數(shù)的線性組合。這就叫冗余性。這時(shí)的連續(xù)小波是與正交基毫無關(guān)系的東西，它頂多也只能作為一種積分變換或基。但它的顯微鏡特點(diǎn)和相似性檢測(cè)能力，已經(jīng)顯現(xiàn)出來了。為了進(jìn)一步更好的將連續(xù)小波變換離散化，以下步驟是一種有效方法。第一步，尺度離散化。一般只將a二進(jìn)離散化，此時(shí)b是任意的。這樣小波被稱為二進(jìn)小

7、波。第二步，離散b。怎么離散化呢？b取多少才合適呢？于是，叫小波采樣定理的東西，就這樣誕生了。也就是小波平移的最小距離（采樣間隔），應(yīng)該大于二倍小波基的最高頻率（好像類似，記不清了）。所以b取尺度的整數(shù)倍就行了。也就是越胖的小波，對(duì)應(yīng)頻譜越窄，平移量應(yīng)該越大，采樣間隔越大。當(dāng)然，第一二兩步的頻域理解，即在滿足頻域窗口中心是3倍的頻域窗口半徑的前提下，頻域就在統(tǒng)計(jì)上是完美二分的。（但很多小波滿足不了這個(gè)條件，而且頻域窗口能量不集中，所以只是近似二分的）。這時(shí)的小波變換，稱為離散二進(jìn)小波變換。第三步，引入穩(wěn)

8、定性條件。也就是經(jīng)過變換后信號(hào)能量和原信號(hào)能量有什么不等式關(guān)系。滿足穩(wěn)定性條件后，也就是一個(gè)小波框架產(chǎn)生成了可能。他是數(shù)值穩(wěn)定性的保證。一個(gè)稍弱的穩(wěn)定條件，就是0

9、幾乎緊框架的。（好像說這樣小波有櫓棒性特點(diǎn)，也就是粗略分解，但卻精確重構(gòu)。）經(jīng)過3步，我們最終地得到了一個(gè)二進(jìn)離散化穩(wěn)定的小波變換，這正是我們要的結(jié)果。三、三、快速算法如果說現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理革命的算法，甚至是很多快速算法的老始祖，或者是滿矩陣向量乘法一個(gè)幾乎不可抗拒的最小計(jì)算量NlogN，那就是令我不得不佩服的快速傅里葉變換（FFT）。這里我不想解釋過多的基2算法，和所謂的三重循環(huán)，還有那經(jīng)典的蝶形單元，或是分裂基之類，我想說的就是一種時(shí)頻對(duì)應(yīng)關(guān)系。也就是算法的來源。我們首先明確，時(shí)域的卷積對(duì)應(yīng)頻域的相

10、乘，因此我們?yōu)榱藢?shí)現(xiàn)卷積，可以先做傅里葉變換，接著在頻域相乘，最后再做反傅里葉變換。這里要注意，實(shí)際我們?cè)谕鍰SP。因此，大家要記住，圓周卷積和離散傅里葉變換，是一家子?？焖俑道锶~是離散傅里葉的快速算法。因此，我們實(shí)現(xiàn)離散線性卷積，先要補(bǔ)零。然后使得它和圓周卷積相等。然后就是快速傅里葉變換，頻域相乘，最后反快速傅里葉變換。當(dāng)然，如果我們就需要的是圓周卷積，那我們也就不需要多此一舉的補(bǔ)零。這里，我們可以把圓周卷積，寫成矩陣形式。這點(diǎn)很重要。Y